LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

YAMILE MENESES

MAIRA GIZETH TELLO BEDOYA

PROBABILIDAD II

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

CREAD

2

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

De entre todas las distribuciones continuas tiene especial relevancia la  distribución Normal o de Gauss. Aparece frecuentemente en las situaciones  más variadas.

Las variables que presentan una distribución Normal tienen características comunes tales como la acumulación de valores en torno al valor de la media, la simetría en la distribución de los valores y escasos valores alejados de la media, por ejemplo:

• Caracteres morfológicos de individuos: altura, peso, número de pie, tamaño del palmo, etc.

• Carácterísticas  de la mayoría de los productos de consumo: duración de las bombillas, resistencia a la rotura de muebles o de piezas, duración de los electrodomésticos, etc.

• Calificaciones obtenidas en cursos, asignaturas y exámenes.

Se dice que una variable aleatoria continua sigue una distribución normal de media [pic 1] y desviación típica [pic 2], y se escribe [pic 3], cuando tiene la función de densidad: [pic 4]

La gráfica de esta función de densidad tiene forma campaniforme, y se denomina “campana de Gauss”.

Las Propiedades de la función f(x) se aprecian en su gráfica y son:

• f(x) tiene por dominio  [pic 5].

• f(x) es continua en su dominio.

• f(x) es simétrica respecto a la recta x=μ.
• Ffx) tiene un máximo absoluto en  [pic 6]
• f(x) tiene dos puntos de inflexión en x= μ+σ y x=μ-σ.

• f(x) es siempre positiva y  asintótica con respecto al eje OX.

• La gráfica de la función de densidad f(x) se llama campana de Gauss .

Para el cálculo de probabilidades usamos la función de distribución:

[pic 7].

Para x=a este valor representa la probabilidad de que la v.a.X tome valores menores o iguales que a y gráficamente representa el área encerrada bajo la curva, el eje OX y la recta x=a.

Puede observarse la dificultad de la integral, es por ello y dado lo habitual que es el uso de esta distribución, que se utiliza una tabla ya confeccionada para el  cálculo de probabilidades.

Pero como bien estarás pensando es imposible realizar una tabla para cada valor de μ y de σ que pueden tomar los parámetros en la distribución.

Las curvas de las diferentes funciones de densidad son en realidad la misma curva variando su máximo y su curvatura en función de μ y σ, por esto  el área encerrada bajo la curva es siempre la misma (como función de densidad que es vale 1) aunque repartida de forma diferente.

Los anteriores argumentos justifican el uso de la N(0,1) como distribución estándar, para la cual existe la tabla de  valores de la función de distribución. A partir de ella y mediante un cambio de variable, que denominamos tipificación podemos calcular  las probabilidades para cualquier distribución N(μ,σ)

Uso de tablas

[pic 8][pic 9]

Las tablas nos ofrecen el valor de F(z0)= P(Z≤ z0) para valores de z0  de 0 a 4  .  La primera columna corresponde a valores desde 0,0 a 3,9 y el  segundo decimal se completa con los valores de la primera fila que van desde 0,00 a 0,09. En la intersección de la fila y la columna correspondiente se encuentra el valor de dicha probabilidad.

Caso 1: P(Z≤ 1,56) = 0,9406

Buscamos el valor en la intersección de la fila de 1,5 y la columna 0,06.

La probabilidad pedida es el área sombreada

Caso 2: P(Z≥1,56) = 1 – P(Z≤ 1,56) =1 -  0,9406 = 0,0594

Tenemos en cuenta que el área total encerrada por la curva es 1 y procedemos por “paso al contrario”

Caso 3: P(Z≤ -1,56) Habrás observado que en tabla sólo aparecen valores positivos de la variable. Tenemos en cuenta que la función y sus valores son simétricos y por tanto

P(Z≤-1,56)=P(Z≥1,56) = 1 – P(Z≤1,56)=1- 0,9406 = 0,0594

Caso 4: P(Z≥ - 1,56) = P(Z≤ 1,56) = 0,9406

Utilizamos en nuestro razonamiento la simetria de la función

Caso 5:P(0,48≤ z ≤ 1,56) =P(Z≤1,56)-P(z≤0,48) = 0,9406 – 0, 6844 = 0,2562

Caso 6:P(- 0,48 ≤Z≤ 1,56) = P(Z≤1,56) - P(Z≤  - 0,48) = P( Z≤ 1,56) – P(Z≥ 0,48) =P(Z≤ 1,56) – (1- P(Z≤ 0,48) ) =P(Z≤1,56) + P(Z≤ 0,48) -1 = 0.9406 + 0,6844 – 1 = 0,625

En ocasiones  el problema planteado será el inverso, conocida la probabilidad calcular los valores de la variable.

Caso 7: Hallar z0 si P(Z≤ z0) = 0, 9410

El valor no se encuentra en la tabla, pero el más aproximado es 0,9406.

Como 0,9406 está en la intersección de la fila 1,5 y la columna 0,06 se trata de z0 = 1,56

Caso 8: Hallar z0 si  P(Z≤ z0) = 0,0594

Como 0,0594 no está en la tabla, tampoco uno aproximado, deducimos que z0 corresponde a un valor negativo y recordamos P(Z≤ -z0) = 1 – P(Z≤ z0) por tanto P(Z≤-z0) = 1- 0,0594 = 0,9406  que si aparece en la tabla como –z0 = - 1,56.

Caso 9:Halla z0 si P( 0,48 ≤ Z ≤ z0) = 0, 2562

Como  P( 0,48 ≤ Z ≤ z0)  = P(Z≤z0) – P(Z≤ 0,48) = 0,2562  buscando en la tabla P(Z≤z0) – 0,6844 = 0,2562  entonces despejando P(Z≤ zz) = 0,2562   + 0,6844 = 0,9406

...