La trasnformada de Laplace

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FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS APLICADAS

ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS

ÁREA DE CIENCIAS Y MATEMATICA

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TEMA:LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

ASIGNATURA: MATEMATICAS III,

SAN SALVADOR, 17 DE SEPTIEMBRE DE 2019.

Índice

1.Introduccion        1

2. Objetivo General        2

3.  Objetivos Específicos.        2

4. Marco Teórico        3

5. Definición de la transformada de Laplace        4

6. Existencia y Funciones        4

6.1 Función continua a trozos        4

6.2 Función de orden exponencial        4

6.3 Función de Existencia        5

7. Propiedades de la transformación de Laplace        5

7.1 Linealidad        5

7.2 Traslación en el dominio de s        6

7.3 Traslación en el dominio de t        7

7.4 Escalar        9

7.5 Transformada LaPlace de una potencia        9

7.6 Transformada de la derivada de orden superior        10

Esta propiedad se obtiene utilizando inducción matemática. Como se sabe.        10

7.7 Transformada de la integral        10

8. La transformada inversa de Laplace        11

8.1 Definición Transformada inversa de Laplace        12

8.1 Comportamiento de F (s) en infinito        13

9. Teoremas de traslación        14

9.1 Primer teorema de traslación        14

10. Función escalón        15

10.1 Función de Heaviside        15

10.2 Transformada de la función Heaviside        16

10.3 Segundo teorema de traslación        16

11. Convolución y transformadas        18

11.1 Propiedades de la convolución        18

12. Funciones por Integral        20

12.1 Función Gama        20

12.2 Función Escalón Unitario        20

12.3 Función Periódica        20

13. Conclusiones        21

14. Infografía        21

1.Introduccion

La transformada de Laplace ha sido en los últimos años de gran importancia en los estudios de ingeniería, matemática, física, entre otras áreas científica, ya que además de ser de gran interés en lo teórico, proporciona una forma sencilla de resolver problemas que vienen de las ciencias e ingenierías.

El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sinusoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

La Transformada de Laplace es un caso especial se le denomina Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea una de las herramientas más útiles para estos efectos. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema.

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La ventaja más significativa radica en que la integración y derivación se convierte en multiplicación y división. Transformando las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fácil de resolver. El objetivo de este método es modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformación Inversa, sea más fácil que resolver la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas. Posteriormente para utilizar la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales, estudiaremos diversos teoremas relacionados con la derivada y la integral de funciones

2. Objetivo General

• Comprender la teoría de la transformada inversa de Laplace, así como también encontrar y entender la relación que entre cada una de las propiedades para resolver ejercicios.

 3.  Objetivos Específicos.

• Saber comprobar si una función verifica las condiciones suficientes para que exista su transformada de Laplace.

• Resolver ejemplos en los cuales se aplique la transformada de Laplace y sus propiedades

4. Marco Teórico

La transformada de Laplace es una técnica matemática la cual está definida por medio de una integral impropia y cambia una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. Ésta puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales de la función.

Se define a dicha transformada mediante la siguiente expresión:

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