Laplace Fourier
Enviado por Lolis Rivera • 31 de Enero de 2017 • Ensayos • 2.382 Palabras (10 Páginas) • 167 Visitas
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla[pic 1]
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Electrotecnia
Unidad IV
Series de Fourier, transformada de Fourier, y transformada de Laplace
Dolores Rivera Solis
Verano 2014
Series de Fourier
La serie de Fourier de una función periódica f (x) de periodo T, también conocida como señal, definida en un intervalo de longitud T está dada por:
[pic 2]
Donde [pic 3]son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y los [pic 4] son los coeficientes de la misma.
Dado un número real [pic 5], observemos que si en la serie se sustituye la variable x por cualquier número de la forma [pic 6]con [pic 7], la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que:
[pic 8]
Por esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto [pic 9], entonces también converge en todo punto de la forma [pic 10], y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos. En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período [pic 11].
Definición 1
Sea f una función integrable en [0, T]. Se llaman coeficientes de Fourier de f a los números
[pic 12]
La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T]. Cuando la función f es además periódica de período T, la serie citada se denomina simplemente serie de Fourier de f.
Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, de acuerdo con la Definición 1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningún argumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma es o no la función f. Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distinta determinar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones.
Forma exponencial de las series de Fourier
La forma trigonométrica de la serie de Fourier de una función f, periódica de período T, dada por
[pic 13]
donde los coeficientes son los de la Definición 1, puede adoptar otra expresión a menudo más cómoda en término de funciones exponenciales complejas como mostraremos seguidamente.
Si escribimos
[pic 14]
Tendremos
[pic 15]
De modo que definiendo [pic 16], y llamando [pic 17]a su conjugado, podremos expresar la serie de Fourier en la forma
[pic 18]
y si por último llamamos [pic 19]quedará la forma exponencial de la serie:
[pic 20]
cuyos coeficientes complejos, utilizando las expresiones de [pic 21]dadas en la Definición 1, se pueden obtener utilizando la fórmula
[pic 22]
Repuesta completa a funciones de excitación periódicas
Análisis por Fourier
Expresamos la excitación en Serie de Fourier: [pic 23]
[pic 24]
La salida periódica es: [pic 25]
escribir:
[pic 26]
Este camino permite calcular fundamental, armónicos, pero no da idea de la forma de onda.
El desarrollo anterior nos sugiere otro camino para hallar la solución periódica (de régimen), calculamos la solución completa y le descontamos el transitorio (residuos de [pic 27] en los polos de H(s), con la ventaja de que los polos de H(s) son pocos).
Todavía, la gracia está en hacer esto en el primer periodo. Después, la respuesta forzada se repite con periodo a.
[pic 28]
Más aún: rT(t) es la solución completa en el primer periodo. (ro es periódica; la calculo en un período. Pero en el primer periodo, la respuesta completa es la misma para e1(t) que para e(t), o cualquier otra que coincida en el primer periodo. Poniendo e1(t) en lugar de de e(t), el circuito no se entera de la diferencia mientras sea t < a.
En efecto:
[pic 29]
La respuesta completa para el primer periodo es:
[pic 30]
Forma compleja de las series de Fourier
En muchas cuestiones de la Física y de la Ingeniería, se presentan funciones periódicas desarrolladas en serie de Fourier del tipo
[pic 31]
Estas series se transforman haciendo: [pic 32]. Siendo [pic 33] amplitud, [pic 34]fase del referido armónico enésimo.
Expresemos las series de Fourier en forma exponencial imaginaria, sabemos que
[pic 35]
Con la cual la serie, adopta la forma
[pic 36]
Llamando [pic 37]
Se puede escribir la serie en la siguiente forma
[pic 38]
El coeficiente [pic 39], se obtiene multiplicando por [pic 40] la ecuación anterior e integrando, teniendo en cuenta que si [pic 41]
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