Lenguaje Sp

DEFINICION DE LENGUAJE Sp

Es un sistema formal en el cual se pueden escribir formulas indicando el valor de verdad de las mismas. En la representación de una formula en lenguaje Sp se pone de manifiesto las relaciones que lo hacen valido.

Interpretaciones: Una interpretación natural del vocabulario Sp  es asignar, a los símbolos que lo constituyen, palabras o frases de un idioma particular (por ejemplo el castellano), de tal modo que las fórmulas se interpreten como oraciones en sentido completo del idioma en cuestión.

A las variables se les interpretan como sustantivos (de una categoría particular), esto es el dominio; a los símbolos funcionales como asignaciones de sustantivos a sustantivos; a los símbolos relacionales como predicados; al símbolo  como el predicado que expresa la identidad entre dos objetos; a los cuantificadores se les califica como adjetivos que califican la cantidad; a los conectores de igual manera que en Ss y los constantes se les interpretan como ciertos nombres propios.

Ejemplo: Considere el lenguaje l = {R12, R21, F11, c1, c2}. Interpretando a las variables en la categoría de los seres humanos. Al símbolo R12 interpretémoslo como el predicado “...esta casado con...”. El símbolo R21 interpretémoslo como “...es cura”. Al símbolo F11 interpretémoslo como la asignación que hace corresponder a cada ser humano su cónyuge (sí existe). A c1 asignémosle el nombre Sócrates y a c2 asignémosle el nombre Juan XXII. Ahora, armados de esta interpretación, pasemos a ver el significado de algunos términos y fórmulas construidos en el lenguaje l.

a. F11 (c1) significa: “la esposa de Sócrates”

b. F11 (F11 (c1)) significa: “el cónyuge de cónyuge de Sócrates”.

c. F11 (F11 (c1))  c1 significa “el cónyuge del cónyuge de Sócrates es Sócrates”.

d. R12(x1, x2) significa: “el ser x1 esta casado con el ser x2”.

e. R12(x1, F11(x1)) significa: “el ser x1 esta casado con su cónyuge”.

f. x1 R21(x1) puede traducirse de muchas maneras, todo significando lo mismo. He aquí unas de ellas: “algún ser humano es cura”, “existen curas”, “hay curas”.

g. x1 (R21(x1)  R21(x1)) significa: “Todo ser humano o bien es cura o bien no lo es”. También podría traducirse como “se es cura o no se es cura”.

h. x1 (R21(x1)  x2 R12 (x1,x2) significa: “Los curas no tienen cónyuges”; o bien “no hay curas casados”; o literalmente: para todo ser humano, si este es cura, no tiene cónyuge.

i. x1x2x3(x2  x3  R12(x1,x2)  R12(x1,x3) significa: “existe un ser humano con dos cónyuges”.

j. x1 x2 (R12 (x1, x2)  R12 (x2,x1)) significa que: “Una persona esta casada con otra si y solo si esta ultima esta casada con la primera”.

k. x1,x2 (R12(x1, x2)  R21(x1)) significa: “Hay personas que no son curas ni están casadas”.

l. ∀x1 R21(x1) significa: “No todas las personas no son curas”. O lo que es lo mismo “hay curas”

m. ∀x1 ∀x2 (R12 (c1, x1)  R12(x2, x1) significa: “Toda persona que sea el cónyuge de Juan XXII es también el cónyuge de cualquier ser humano”.

n. (R12 (x1, x2)  x1  x2) significa: “Si dos personas están casadas son diferentes”.

o. x1 x2 (x1  x2  R12(x1, x2)) significa: “Si dos personas son diferentes, entonces están casados”.

p. x1x2 x3 (R12(x2, x1)  R12(x2, x3)  x1  x3) significa: “si tres personas son tales que la primera esta casada con la segunda y la segunda con la tercera, necesariamente la primera y la tercera persona son la misma.

Este procedimiento de interpretación puede hacerse con cualquier lenguaje. Además cada lenguaje tiene una infinidad de interpretaciones. Lo que es bien importante es que una vez fijada la interpretación de sus símbolos, las fórmulas tienen un significado unívocamente determinado.

VOCABULAIODE LENGUAJE Sp

El vocabulario de Sp esta constituido por un conjunto v = v1 u v2 u v3 u v4 u v5 u v6 u v7 en donde los Vﺄ para i Ẹ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} son los siguientes:

v1 es el símbolo de conjunto para variables,

v1 = {x1, x2, x3,....., xn, .......}.

v1 siempre Serra un conjunto infinito en correspondencia biunívoca con los naturales.

v2 es el conjunto de símbolos racionales,

v2 = { R1ⁿ, R2ⁿ, R3ⁿ,. ,Rkⁿ,.......}.

V2siempre va a tener un símbolo racional binario que vamos a denotar ≡

(La identidad. Para un símbolo Rkⁿ cualquier de V2 el superíndice ⁿk denotara la aridad de dicho símbolo.

V3 es el conjunto de símbolos funcionales,

V3 = {F1k1, F2K2, F3K3,…., Fnkn, ..}.

El superíndice Kii de un símbolo funcional Fiki denota su aridad.

V4 es el conjunto de símbolos constantes,

V4 = { c1, c2, c3,......., cn,.........}.

V5 es el conjunto de conectores

v5 = {^, ۷, →, ↔, ┐}

V6 es el conjunto de puntuadotes,

V6 = {(,), “, ‘’}.

V7 es el conjunto de cuantificadores,

V7 = {V, Э}.

Llamaremos símbolos lógicos a V1 u V5 u V6 u V7 U {≡}. Estos permanecerán invariables en cualquier cálculo de predicados que se considere. Mientras que V2 u V3 u V4 pueden variar y los llamaremos lenguaje de un cálculo de predicados. Así, por ejemplo, un lenguaje podría ser {≡} cuando V2 solo contiene al símbolo racional ≡ y V3 = v4 = Φ. Otro ejemplo del lenguaje puede ser: {≡, R31, F21, C1} en el cual, además del símbolo para la identidad, hay un símbolo relacional de la aridad 3, un símbolo funcional de aridad 2 y un símbolo constante.

Sea Rnkn un símbolo relacional. Si kn = 1 diremos que es un símbolo r4lacional unario. Si ⁿn = 2 diremos que es un símbolo relacional binario. Si ⁿn > 3 diremos que es un símbolo relacional de k n – argumentos o simplemente de aridad kn .

Sea Fini un símbolo funcional. Diremos que es un símbolo funcional de ni argumentos.

DEFINICION DE UN TÉRMINO

Definición 1.

Una expresión es un término si se forma mediante un número finito de aplicaciones de las siguientes reglas:

1. Toda variable y todo símbolo constante es un término.

2. Si G es un símbolo funcional de n argumentos (n – ario) y si t1, t2, ...., tn son términos entonces G (t1, ....., tn ) es un termino.

Observación: note que la fórmula de un cálculo de Predicados estas determinados por el lenguaje de ese Cálculo Predicados. Así fijado un lenguaje l, se habla de fórmulas de l. Y si se habla de F debe estar bien claro cual es el leguaje l en cuestión, es decir, cual es el lenguaje en el cual los elementos de F se forman. Así por ejemplo: R53(x1, x2, x3} no es una fórmula del lenguaje del lenguaje l del ejemplo; sin embargo es una fórmula del lenguaje l1 = l  {R53}.

La definición inductiva que se ha dado de términos y de fórmulas es muy importante, pues ella es la que nos va a permitir demostrar propiedades (por inducción) de los términos y de las fórmulas.

Queremos ver que ningún término es una fórmula. Veámoslo por inducción:

1. Si t es una variable o una constante es obvio, de la definición de formulas, que t no es una fórmula.

Ejemplo:

Consideremos el Cálculo de Predicados cuyo lenguaje ʆ es {R12, R24, F11, F23, c1, c2}. Entonces xk es un término para cualquier xk ∈ V1, esto es debido a la regla 1. Por la misma regla c1 y c2 son también términos. Por la regla 2 F11(x2) es un término; también F23(x1, c1, F11(x2)) es un término por la regla 2 ya que x1, c1 y F11 (c1, c2) son términos y F23 es un símbolo funcional. También hay que tomar en cuenta que F11 (c1, c2) no es un término porque F11 es un símbolo funcional. Tampoco es un término la expresión R24 (x1, x2, F11 (x1), c1) porque a pesar de que x1, x2, F11 (x1) y c1 son términos, R24 es un símbolo relacional y no un símbolo funcional.

Formula:

Definición 2.

1. Si P es un símbolo relacional de n argumentos (n – ario) y si t1, t2, ...., tn son términos, entonces P( t1, .....tn ) es una formula.

2. Si φ es una formula entonces ┐φ es una formula.

3. si φ y Ψ son formulas entonces ( φ ٭ Ψ ) es una formula en donde ٭ representa cualquier conector binario, es decir ٭ Є { ^, ۷, →, ↔, ┐} .

4. Si φ es una formula y Xk es cualquier variable entonces v Xk φ y Ш Xk φ son formulas.

Llamaremos formulas atómicas a las formulas definidas mediante la formula ( 1 ).

Ejemplo:

Consideremos el Cálculo de Predicados del ejemplo anterior:

ʆ= {R12, R24, F11, F23, c1, c2}

Entonces c1 ≡ x2, R12 (c1, F11 (c2)) y R24 (x1, x2, F23 (c1, x1, c2), F11 (F11 (c2))) son ejemplos de fórmulas atómicas ya que cada una de ellas es un símbolo relacional seguido de un número de términos igual a la aridad del símbolo. Por supuesto que estamos adoptando la siguiente convención: en vez de escribir ≡ (t1, t2), escribimos t1 ≡ t2. También escribiremos t1 ≠ t2 en vez de ¬ ≡ (t1, t2). Así por la regla 3, c1 ≠ x3, c1 ≠ x2, ¬R12 (c1, F11 (c2))

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