Lenguaje Sp

DEFINICION DE LENGUAJE Sp

Es un sistema formal en el cual se pueden escribir formulas indicando el valor de verdad de las mismas. En la representación de una formula en lenguaje Sp se pone de manifiesto las relaciones que lo hacen valido.

Interpretaciones: Una interpretación natural del vocabulario Sp  es asignar, a los símbolos que lo constituyen, palabras o frases de un idioma particular (por ejemplo el castellano), de tal modo que las fórmulas se interpreten como oraciones en sentido completo del idioma en cuestión.

A las variables se les interpretan como sustantivos (de una categoría particular), esto es el dominio; a los símbolos funcionales como asignaciones de sustantivos a sustantivos; a los símbolos relacionales como predicados; al símbolo  como el predicado que expresa la identidad entre dos objetos; a los cuantificadores se les califica como adjetivos que califican la cantidad; a los conectores de igual manera que en Ss y los constantes se les interpretan como ciertos nombres propios.

Ejemplo: Considere el lenguaje l = {R12, R21, F11, c1, c2}. Interpretando a las variables en la categoría de los seres humanos. Al símbolo R12 interpretémoslo como el predicado “...esta casado con...”. El símbolo R21 interpretémoslo como “...es cura”. Al símbolo F11 interpretémoslo como la asignación que hace corresponder a cada ser humano su cónyuge (sí existe). A c1 asignémosle el nombre Sócrates y a c2 asignémosle el nombre Juan XXII. Ahora, armados de esta interpretación, pasemos a ver el significado de algunos términos y fórmulas construidos en el lenguaje l.

a. F11 (c1) significa: “la esposa de Sócrates”

b. F11 (F11 (c1)) significa: “el cónyuge de cónyuge de Sócrates”.

c. F11 (F11 (c1))  c1 significa “el cónyuge del cónyuge de Sócrates es Sócrates”.

d. R12(x1, x2) significa: “el ser x1 esta casado con el ser x2”.

e. R12(x1, F11(x1)) significa: “el ser x1 esta casado con su cónyuge”.

f. x1 R21(x1) puede traducirse de muchas maneras, todo significando lo mismo. He aquí unas de ellas: “algún ser humano es cura”, “existen curas”, “hay curas”.

g. x1 (R21(x1)  R21(x1)) significa: “Todo ser humano o bien es cura o bien no lo es”. También podría traducirse como “se es cura o no se es cura”.

h. x1 (R21(x1)  x2 R12 (x1,x2) significa: “Los curas no tienen cónyuges”; o bien “no hay curas casados”; o literalmente: para todo ser humano, si este es cura, no tiene cónyuge.

i. x1x2x3(x2  x3  R12(x1,x2)  R12(x1,x3) significa: “existe un ser humano con dos cónyuges”.

j. x1 x2 (R12 (x1, x2)  R12 (x2,x1)) significa que: “Una persona esta casada con otra si y solo si esta ultima esta casada con la primera”.

k. x1,x2 (R12(x1, x2)  R21(x1)) significa: “Hay personas que no son curas ni están casadas”.

l. ∀x1 R21(x1) significa: “No todas las personas no son curas”. O lo que es lo mismo “hay curas”

m. ∀x1 ∀x2 (R12 (c1, x1)  R12(x2, x1) significa: “Toda persona que sea el cónyuge de Juan XXII es también el cónyuge de cualquier ser humano”.

n. (R12 (x1, x2)  x1  x2) significa: “Si dos personas están casadas son diferentes”.

o. x1 x2 (x1  x2  R12(x1, x2)) significa: “Si dos personas son diferentes, entonces están casados”.

p. x1x2 x3 (R12(x2, x1)  R12(x2, x3)  x1  x3) significa: “si tres personas son tales que la primera esta casada con la segunda y la segunda con la tercera, necesariamente la primera y la tercera persona son la misma.

Este procedimiento de interpretación puede hacerse con cualquier lenguaje. Además cada lenguaje tiene una infinidad de interpretaciones. Lo que es bien importante es que una vez fijada la interpretación de sus símbolos, las fórmulas tienen un significado unívocamente determinado.

VOCABULAIODE LENGUAJE Sp

El vocabulario de Sp esta constituido por un conjunto v = v1 u v2 u v3 u v4 u v5 u v6 u v7 en donde los Vﺄ para i Ẹ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} son los siguientes:

v1 es el símbolo de conjunto para variables,

v1 = {x1, x2, x3,....., xn, .......}.

v1 siempre Serra un conjunto infinito en correspondencia biunívoca con los naturales.

v2 es el conjunto de símbolos racionales,

v2 = { R1ⁿ, R2ⁿ, R3ⁿ,. ,Rkⁿ,.......}.

V2siempre va a tener un símbolo racional binario que vamos a denotar ≡

(La identidad. Para un símbolo Rkⁿ cualquier de V2 el superíndice ⁿk denotara la aridad de dicho símbolo.

V3 es el conjunto de símbolos funcionales,

V3 = {F1k1, F2K2, F3K3,…., Fnkn, ..}.

El superíndice Kii de un símbolo funcional Fiki denota su aridad.

V4 es el conjunto de símbolos constantes,

V4 = { c1, c2, c3,......., cn,.........}.

V5 es el conjunto de conectores

v5 = {^, ۷, →, ↔, ┐}

V6 es el conjunto de puntuadotes,

V6 = {(,), “, ‘’}.

V7 es el conjunto de cuantificadores,

V7 = {V, Э}.

Llamaremos símbolos lógicos a V1 u V5 u V6 u V7 U {≡}. Estos permanecerán invariables en cualquier cálculo de predicados que se considere. Mientras que V2 u V3 u V4 pueden variar y los llamaremos lenguaje de un cálculo de predicados. Así, por ejemplo, un lenguaje podría ser {≡} cuando V2 solo contiene al símbolo racional ≡ y V3 = v4 = Φ. Otro ejemplo del lenguaje puede ser: {≡, R31, F21, C1} en el cual, además del símbolo para la identidad, hay un

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