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CUERPO RÍGIDO

Experiencia 1

Método Dinámico para la determinación de Momentos de Inercia de cuerpos con simetría de rotación (Interfase Xplorer GLX PASCO)

Introducción

Se propone un método dinámico para determinar el momento de inercia de piezas con simetría de rotación. Este método se puede aplicar para medir el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje, que simbolizamos con I, de piezas como poleas, ventiladores de paletas, ruedas, etc, cuya geometría hace difícil el cálculo por métodos geométricos (integración). Para validar el método, se medirá el momento de inercia de cuerpos de geometría sencilla (dos cilindros de diferente masa) y se compararán los resultados calculados a partir de consideraciones geométricas con los obtenidos por el método dinámico propuesto.

El momento de Inercia respecto de un eje que pase por su centro de un cilindro macizo de masa m y radio R, calculado aplicando la definición de momento de inercia e integrando para todo el volumen, es I=½m.R2. Este resultado supone que el material del cilindro es homogéneo y que su forma se puede asociar a un cilindro perfecto, dentro de la incerteza con que se miden sus dimensiones. Un modelo algo más preciso puede considerar la perforación que permite colocar al cilindro en un eje de radio r. En este caso, el momento de inercia respecto del eje de giro del cilindro perforado es I=½m(R2+r2). Por lo tanto, si se conoce la masa y se mide su radio, se puede calcular el momento de inercia del cilindro y el error absoluto de la medida.

Sin embargo, si la forma del cuerpo es complicada, no es fácil obtener el I por integración. En ese caso, en tanto el cuerpo sea simétrico respecto al eje de giro, siempre se puede aplicar el método dinámico que se describe a continuación.

Para medir el momento de inercia por el método dinámico, se debe hacer rotar al cuerpo por acción de un momento M conocido y medir la aceleración angular α que adquiere. Aplicando la expresión que vincula el momento con la aceleración angular

M=I.α (1)

–equivalente rotacional de la segunda ley de Newton ∑f=m.a- se puede obtener el valor de I como cociente entre los módulos de M y α.

La figura muestra un cilindro -de radio Rcil- cuyo momento de inercia se desea conocer, adosado a una polea de radio Rp. Una pesa de masa m, atada a un hilo arrollado en la polea, provoca la rotación acelerada del conjunto por efecto de un momento

M=Rp T (2)

donde T es la tensión del hilo. Resolviendo el diagrama de cuerpo aislado de la pesa, resulta:

m.g -T= m.a = m.α.Rp (3)

donde se reemplazó la aceleración tangencial a del borde de la polea por su expresión en función de la aceleración angular α y el radio Rp de la polea. Resolviendo la expresión (3) para T, la ecuación (2) queda

M = m.(g-α.Rp).Rp (4)

Por último, reemplazando (4) en (1) y despejando se obtiene para I la siguiente expresión

I = m.(g-α.Rp).Rp / α (5)

Por lo tanto, conocidos m, α y Rp es posible obtener el momento de inercia del cilindro (o de cualquier cuerpo simétrico respecto del eje), sin necesidad de conocer ni su masa ni su geometría.

Procedimiento

Para medir en forma dinámica el momento de inercia del cuerpo cilíndrico, se dispondrá del dispositivo de la figura. Éste consta de un Sensor de Movimiento Rotacional –SMR- que permite registrar mediante una interfase la velocidad angular del eje.

Sobre este eje se ubican, de un lado, una polea y del otro lado el cuerpo en estudio.

Sobre la polea se arrolla un hilo del que pende un portapesas (masa propia 5gr) en el que se coloca una masa de 20gr.

Para medir, se deja caer el peso con el hilo completamente arrollado en la polea, mientras simultáneamente se inicia el conteo en la interfase, deteniéndolo antes de que la pesa desenrolle todo el hilo. Se programará la interfase para que muestre un gráfico ω (rad/s) vs tiempo (s). La pendiente de ese gráfico linealizado nos da α en rad/s2.

Se harán tres series de medidas de cinco tomas cada una de la aceleración angular α.

1. Primera serie: se mide α para el eje con la polea, sin el cilindro, utilizando en este caso el portapesas sin ninguna pesa (masa propia 5g). Esto nos permitirá sustraer el I propio del eje+polea del I del conjunto eje+polea+cilindro.

2. Segunda serie: se coloca

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