ÁLGEBRA LINEAL

[pic 1][pic 2][pic 3]

ÁLGEBRA LINEAL

Objetivo de la asignatura:

El alumno resolverá problemas matemáticos a través del uso del álgebra, matrices y sistemas de ecuaciones para contribuir en la toma de decisiones en su entorno profesional y cotidiano.

Competencias:

Plantear y solucionar problemas con base en los principios y teorías de física, química y matemáticas, a través del método científico para sustentar la toma de decisiones en los ámbitos científico y tecnológico.

UNIDAD TEMÁTICA I.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Objetivo de la unidad:

El alumno resolverá problemas matemáticos de la vida cotidiana para contribuir a su manejo en el nivel superior.

Contenido temático:

1. Clasificación de los números reales.
2. Números Complejos.
3. Sistemas de numeración.

1. Clasificación de los números reales:

[pic 4]

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los

números reales, se designa por R.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Se llama número racional (Q) a todo número que puede representarse como el

cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

𝑸 = {𝒂  / 𝒂 ∈ 𝒁; 𝒃 ∈ 𝒁; 𝒃 ≠  𝟎}[pic 5]

𝒃

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son

números racionales; pero los números decimales ilimitados no. Los números enteros (Z) son del tipo:

Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

[pic 6]

Un número es irracional (I) si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción

El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. π =3.141592653589…

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales (N) está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …….}

[pic 7]

Sistema de coordenadas lineales y rectangulares Coordenadas lineales

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real coordenadas lineales. Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama centro de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero), que se representa con el eje X, en el cual se define un centro de coordenadas, simbolizado con la letra O (de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las x.

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales.

[pic 8]

Coordenadas rectangulares.

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares consiste en dos rectas perpendiculares entre si que se cortan en un punto 0 al que se le llama origen del sistema, dichas rectas se llaman ejes coordenados. El eje horizontal se denomina eje de las abscisas y el eje vertical eje de las ordenadas. Los ejes pertenecen a un plano que se divide en cuatro regiones llamados cuadrantes numeradas con números romanos.

[pic 9]

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1. Propiedad Conmutativa: a + b = b + a Sean a, b pertenecientes a los reales.
2. Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a, b ,c pertenecientes a los reales.
3. Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a+(-a)=0
4. Existencia de elemento neutro: a+0 =a
5. Propiedad Conmutativa del producto: (a) (b) = (b) (a)
6. Propiedad Asociativa del producto: (ab)*c= a*(bc)
7. Existencia de elemento inverso: a*1/a = 1
8. Existencia de elemento neutro (del producto) : a*1 = a
9. Propiedad Distributiva: (a+b)*c = ac+bc
10. Tricotomía: a>b , a<b o a=b
11. Monotonía de la suma.
12. Monotonía del producto.
13. Propiedad Transitiva a>b>c entonces a>c
14. Propiedad Uniforme.

Operaciones con los números Reales

1. Sumar números reales

a).- Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.

b).- Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)

Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande.

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor absoluto.

1. Restar números reales

Todo problema de sustracción (resta) puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a)

1. Multiplicar números reales

a).- Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

b).- Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

c).- Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación: Para cualquier número a,

𝒂 ∗ 𝟎 = 𝟎 ∗ 𝒂 = 𝟎

4.- Dividir números reales

a).- Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

b).- Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

𝒂   = −𝒂 = − 𝒂

[pic 10]        [pic 11]        [pic 12]

−𝒃        𝒃        𝒃

NÚMEROS COMPLEJOS

Números Imaginarios Puros

La raíz cuadrada de un número negativo (como √−1, √−5, √−9), se dice número imaginario puro.[pic 13][pic 14][pic 15]

Como por definición, √−5 = √5 × √−1 𝑦 √−9 = √9 × √−1 = 3√−1, es conveniente introducir el símbolo 𝒊 = √−𝟏 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑑𝑜𝑝𝑡𝑎𝑛 √−𝟓 = 𝒊√𝟓 𝒚 √−𝟗 = 𝟑𝒊, como formas normales de estos números.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

El símbolo i tiene la propiedad i2 = –1; y para potencias enteras positivas superiores tenemos:

...