Econometria

2 de diciembre de 2021

1. La situación

Usted trabaja en una firma, y sospecha que puede haber un problema de corrupción y de modificación de los datos financieros. Afortunadamente tiene acceso a estos datos, pero no sabe por dónde empezar a revisar. Sin embargo, recuerda que en el examen final de Modelación Estática aprendió una herramienta que podría servirle para enfrentar este problema.

1. (10 puntos) Busque y defina con sus propias palabras qué es la ley de Benford, y sus principales usos. No olvide citar sus referencias. Esta definición no debe superar 4 líneas.

La ley de Benford indica que, en todo conjunto numérico de la realidad los primeros dígitos de los números no son equiprobables, así, a medida que crece el valor del primer dígito, más improbable es que este conforme un número. Su principal uso es la detección de datos erróneos o fraudu- lentos, también se usa en la modelación matemática y la verificación de modelos demográficos. (MARTÍNEZ GÁMEZ Y CANIZALES RIVERA, 2009)

1. Revisar los datos sospechosos

1. (30 puntos) En el archivo adjunto de Excel, encontrará los datos financieros de la empresa en la que trabaja. Las cuatro variables que debe usar son “Ingresos”, “Pagos a inversionistas”, “Pagos a salarios” y “Pagos de impuestos”. Sea la matriz B = (bij)9×4, donde la entrada bij indica la cantidad de cifras financieras de la variable j cuyo primer dígito es i. (El orden importa: es decir, considere que “Ingresos” es j = 1, “Pagos a inversionistas” es j = 2 y así sucesivamente).

1. Escriba la matriz B.

158   70   151  182[pic 1][pic 2]

60        47        56        61[pic 3]

38        47        52        39

27        52        33        24

27        63        25        27[pic 4]

25        44        23        24[pic 5]

29        64        20        22

1. Defina  1n  al vector columna de tamaño n        1 cuyas entradas son todas unos. Realice la multiplicación B14, e interprete la matriz resultante.[pic 6]

158 70 151 182[pic 7]

80        58        86        82

60        47        56        61[pic 8]

56        55        54        39[pic 9][pic 10]

1

27        52        33        24[pic 11]

27        63        25        27

25        44        23        24

29        64        20        22[pic 12]

1

158 × 1+  70 × 1+  151 × 1+ 182 × 1

 80 × 1+        58 × 1+        86 × 1+        82 × 1 [pic 13]

 56 × 1+        55 × 1+        54 × 1+        39 × 1 [pic 14][pic 15]

561

306[pic 16]

224[pic 17]

204[pic 18]

27 × 1+        52 × 1+        33 × 1+        24 × 1[pic 19]

27 × 1+        63 × 1+        25 × 1+        27 × 1[pic 20]

25 × 1+        44 × 1+        23 × 1+        24 × 1

29 × 1+        64 × 1+        20 × 1+        22 × 1

136

142[pic 21]

116[pic 22]

135

Para este caso, la matriz resultante corresponde a la suma de la cantidad de veces que aparece cada digito en las 4 variables,es decir, la suma de los digitos i iguales de cada variable J, dato importante puesto que alli se puede estudiar asi mismo la ley de benford determinando si los dijitos son equiprobables o no.

1. Realice la multiplicación BT 19, e interprete la matriz resultante.

158 80 60 56 38 27 27 25 29

1

1[pic 23][pic 24]

T         70        58   47   55   47   52   63 44  64         

B   = 151   86   56   54   52   33   25   23   20 × 1

182 82 61 39 39 24 27 24 22

1

1[pic 25]

1[pic 26][pic 27]

158 × 1+   80 × 1+   60 × 1+   56 × 1+   38 × 1+   27 × 1+   27 × 1+   25 × 1+   29 × 1

T        70 × 1+        58 × 1+   47 × 1+   55 × 1+   47 × 1+   52 × 1+   63 × 1+   44 × 1+   64 × 1[pic 28]

151 × 1+ 86 × 1+ 56 × 1+ 54 × 1+ 52 × 1+ 33 × 1+ 25 × 1+ 23 × 1+ 20 × 1[pic 29][pic 30][pic 31]

500[pic 32][pic 33]

500

Para este caso, la matriz resultante corresponde a la suma de la cantidad de veces que aparecen los digitos en su respectiva variable, da como resultado así mismo la cantidad de datos que tienen las variables en el ejercicio.

1. Defina la matriz C  como la matriz 4        4 que se obtiene al quedarse con las primeras 4 filas de B. Defina además el vector mT = (a 2a 3a 4a) (note que el vector m es un vector columna[pic 34][pic 35]

4        1). a es un parámetro real. Resuelva el sistema lineal de ecuaciones Cx = m. ¿Cómo a afecta la cantidad de soluciones del sistema? Encuentre las condiciones (si las hay) para que haya una,

ninguna o infinitas. Además, no olvide encontrar la solución x en función de a.[pic 36]

158 70 151 182 x[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

 a 

158x+   70y+  151z+  182w        = a[pic 44]

80x+        58y+        86z+        82w        = 2a

60x+        47y+        56z+        61w        = 3a[pic 45]

56x+        55y+        54z+        39w        = 4a

Solucionando[pic 46]

158   70  151  182        a

80        58        86        82        2a        1[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

×

 1[pic 51]

60[pic 52]

  a

158[pic 53]

2a[pic 54]

3a        F 2 + F 1(−80) F 2 + F 1(−60) F 2 + F 1(−56)

...