Sucesiones

Lección No 1: Generalidades:

En muchos contextos hacemos referencia a las sucesiones, El incremento bacteriano a través

del tiempo, el aumento de la tasa de interés a través del tiempo, otros. Una sucesión esta

referido a secuencia, luego se puede decir que una sucesión es un conjunto de valores que

presenta una secuencia con una característica determinada.

Analicemos un poco la notación:

Sea n = a, a+1, a+2, a+3,… Entonces: Ua es el primer término de la sucesión y

Un el n-esimo término de la sucesión. La notación para una sucesión esta dada por:

{ n }n a S U ³ =

Descripción de una Sucesión: Las sucesiones se pueden describir desde tres puntos de vista:

- A partir del termino general

- A partir de los primeros términos

- A partir del primer término y la relación de recurrencia.

1. El Término general: Toda sucesión tiene un término general, el cual describe dicha sucesión

por comprensión; es decir, expresa la característica común de la sucesión.

Ejemplo No 1:

Para la sucesión { } 1 2 ³ = + n n U n Identificar los términos de la misma.

Solución:

Al expresar la sucesión por extensión tenemos:

El primer término: {1 2} {3} 1 = + = n = U

{ } n n a S U ³ =

Definición Formal: Una sucesión n U es una función en la cual el dominio

(n) son los números naturales y la imagen (un) los números reales.

f (x) : N ® R Es decir: n ® F(n)

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El segundo término así: {2 2} {4} 2 = + = n = U

Así sucesivamente. Entonces: U = {3,4,5,6,..., n + 2,...} n

Vemos que conociendo el término general, se pueden obtener cada uno de los términos de la

sucesión.

2. Los Primeros Términos: Conociendo los primeros términos, se puede hacer un análisis de la

secuencia que presentan éstos y así obtener el término general. Lo anterior significa que de

debe identificar “La Regla” que permiten desarrollar la secuencia.

Ejemplo No 2:

Sea ={1,3,5,7,...} n U Identificar el término general.

Solución:

Descomponemos los términos para buscar un patrón de secuencia, veamos:

1 1 0 1 2 * 0 1 0 = ⇒ + = + = n = U

3 1 2 1 2 *1 3 1 = ⇒ + = + = n = U

5 1 4 1 2 * 2 5 2 = ⇒ + = + = n = U

7 1 6 1 2 * 3 7 3 = ⇒ + = + = n = U

El patrón de secuencia es 1 + 2*n. Donde n = 0, 1, 2, 3,…

Entonces el término general es de la forma: { } 0 1 2 ³ = + n n U n

Ejemplo No 3:

Sea la sucesión: = {- 2,4,-8,16,...} n v Hallar el término general.

Solución:

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Igual que en e l caso anterior, se busca un patrón de secuencia. Se observa que los signos van

intercalados, luego se debe tener expresión de potencia, ya que cuando la base es negativa y

el exponente positivo par; la expresión es positiva, pero si la base es negativa y el exponente

positivo impar; la expresión es negativa.

( )1

1 =-2= -2 n= v

2 ( )2

2 =4= 2 = -2 n= v

( )3

3 =-8= -2 n= v

M

i

n i v =16=2 =

Luego el patrón de secuencia es ( )n - 2 Siendo n entero positivo.

El término general de la sucesión es: { }n

n v = - 2

3.

...