Desarrollo de los problemas y ejercicios

Introducción

• Objetivos.

• Desarrollo de los problemas y ejercicios.

• Bibliografía.

Introducción.

El presente trabajo hace parte de las actividades propuestas para la Actividad 6

trabajo colaborativo 1 del curso algebra lineal. En él, hacemos un vistazo detallado

a las teorías, conceptos, ejercicios de los vectores, matrices y determinantes

entre otros temas de interés propios de ésta temática del curso y algunas

operaciones con vectores y proyecciones.

Desde una perspectiva de los principios y leyes que rigen a la algebra lineal.

Su importancia radica en las múltiples aplicaciones en diversas ciencias como por

ejemplo las ingenieras y en que propicia el desarrollo de habilidades mentales de

análisis y raciocinio.

1. Objetivos

- Comprender el conjunto de conocimientos relacionados con los

fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los

vectores,

matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y

situaciones particulares en diferentes campos del saber.

- Conocer el concepto de matrices reconocer su importancia en aplicaciones

especificas, entender y manejar las distintas operaciones para resolver a futuro

sistemas lineales

2. Desarrollo de los ejercicios planteados.

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a.

= ;  =  °

b.

= ;  = 

°


= ;  =  °

= ;  = 

°

 =



   °

 +

   °

  =



  

°

 +

  

°



 =

 

−

  +  

   =  



 + 

 

 =



−





!" +



!"  = 

 + 

 

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1.  +

 =



−





!" +



!"  = 

 + 

 

 =  =

 =

 #−



!"$  +  #



!"$ 

 =



 + 

 

 =

%−!"&  + %!"& 

 +=

%!−!""+ !!""& +

 + 

  

−!" +

 + !" +

 

= −, ( + ), (

1.2. 

 −

 =



−





!" +



!"  = 

 + 

 

 −

=

−



!" +



!" −

 + 

  

#−



!" +

 + 



!" +

 $

1.3.  − *

 =



−





!" +



!"  = 

 + 

 

 =  =

 =

#−



!"$  + #



!"$ 

* =

* 

 + * 

 

 =

#−



!"$  + #



!"$ 

* =

 + ! "

 − *=

+#−



!"$  + #



!"$ , −% + ! "&

#−



!" +   + 



!" +  $

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. 

 = -.+ )/.0 = −

-.− */.

 ∗  =

∗

2

 ∗  =  + ) ∗ −

 − *

 ∗  = ! ∗ −

" + !) ∗ −*"

 ∗  = 

 + − 

 ∗  = −


∗

=


= 3 + )


= * + 4


= 4


= 3−

 + −*


= 

+ 


= 

 2 =

 ∗ 


∗


2 =

−

4

 2 = −

, 

5−

,  = *,

2.2.6

 = −-. − /.y = −(-. − /.

6∗  =
6
∗

 2

6∗  = !− + − " ∗ −( − 

6∗  = !− ∗ −(" + !− ∗ −"

6∗  = * + 

6∗  = )

6
∗

=

6
= 3− + − 

6
= * + )

6
= 


= 3−( + −


= *) + 


= (*

2 =

6∗ 

6
∗


2 =

)

 (*

2 =

, )

5

, )  = 

, ((°

3. Dada la siguiente matriz, encuentre 75 empleando para ello el método de

Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso). NO SE

ACEPTANPROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma 8

9

y NO con

sus representaciones decimales).

: =#

−  

(

−4

  −

$

: =#

−  

(

−4

  −

$ ;<=>?@A><ABC8;;8>;8DAEA>@?F8FEADA
:
DA:

=8>8B89A>B?:5AG?BEA

:
=#

−  − 

(

−4(

  −  

$

:
= H− ∗

∗ −  +  ∗ −4 ∗  +  ∗ ( ∗ I

− J ∗

∗  + ! ∗ −4 ∗ −" + − ∗ ( ∗ K

:
= H

 + −*

 + (

I − H

 + 4

 + −

I

:
= H

I − H−I = 

L<@<
:
≠

AFE<FLAB:

5

AG?BEA

NO

−  

(

−4

  −

O







P Q =

Q

−

−

−



−



−

R 



−





SO

 − −

(

−4

  −

O

−









T Q = Q − (Q (

−4

−( ( (

U



(





SO

 − −

( −

  −

O

−





(







T Q = −Q + Q  − −

− −

U−





−

SO

 − −

( −

− 

O

−





(





−





−

T Q

= Q + (Q 

∗ −  ∗ (  + −

( ∗

 − ∗ (  ∗ ( R





−

(



−(

SO

 − −

( −



O

−





(





*



−(

T Q

= Q + Q 

 ∗ (  + −



U

((





*



−(

SO

 − −

((



O

−





)



* −(

*



−(

T Q =

Q

((

+

Q







U







−





*





−(



SO

 − −

 



O

−





(







−

4



*



−(

T Q = Q + Q  − −

 

U

−





(







−4



SO



 



O









−

4



(







−

4



*



−(

T Q = Q + −

Q





 

−

U

(







−

4



*



−



(



SO







O









−

4









−





*



−(

T Q =

Q





*





−

(



SO







O









−

4









−





*





−

(



T

:5 = S









−

4









−





*





−

(



T =





O

  −4

  −

* −(

O

4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o

cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para esto,

anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a pasola

operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente

transformarlo en una matriz triangular). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS

REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma 8

9

y NO con

sus representaciones decimales).

1 0 9 2 1

-1 2 3 -2 1

B= -1 0 -1 2 1

0 0 0 2 -2

0 7 0 1 1

Se toma como referencia la cuarta fila por ser una de las que tiene más ceros:

1 0 9 2 1

-1 2 3 -2 1

-1 0 -1 2 1

0 0 0 2 -2

0 7 0 1 1

El determinante se puede hallar por medio de las matrices internas que se forman

al eliminar una fila y columna y multiplicar el termino ubicado en esa posición de

fila y columna por el determinante de esa matriz restante. Hay que tener en cuenta

que los signos van cambiando en las sumas de forma intercalada.

Det(B) =

0 9 2 1 1 9 2 1 1 0 2 1 1 0 9 1 1 0 9 2

0 2 3 -2 1 0 -1 3 -2 1 0 -1 2 -2 1 2 -1 2 3 1 2 -1 2 3 -2

0 -1 2 1 -1 -1 2 1 -1 0 2 1 -1 0 -1 1 -1 0 -1 2

7 0 1 1 0 0 1 1 0 7 1 1 0 7 0 1 0 7 0 1

Como los determinantes de las primeras 3 matrices se multiplican por cero, se

puede reducir el determinante a:

Det(B)=

1 0 9 1 1 0 9 2

2 -1 2 3 1 2 -1 2 3 -2

-1 0 -1 1 -1 0 -1 2

0 7 0 1 0 7 0 1

Se procede a realizar los mismos pasos para hallar cada uno de los determinantes

de las matrices restantes.

Det(B)=

1 9 1 1 9 1 1 9 2 1 9 2

2 2 -1 -1 1 7 -1 3 1 2 2 -1 -1 2 7 -1 3 -2

0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1 -1 2

De esta forma queda más sencillo encontrar el determinante de las matrices

faltantes y realizar las respectivas operaciones.

Det(B)=

2[2(-1+9)+7(1(3+1)-9(-1+1)+1(1+3))]+2[2(-1+9)+7(1(6-2)-9(-2-2)+2(1+3))]

Det(B)=

2[2(8)+7(1(4)+1(4))]+2[2(8)+7(1(4)-9(-4)+2(4))]

Det(B)=

2[16+7(8)]+2[2(8)+7(48)]

Det(B)=

2[16+56]+2[16+336]

Det(B)=

2[72]+2[352]

Det(B)=

144+704 = 848

6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes

(Recuerde: :5 = 

VAE: ∗ :DW:

Nota: describa el proceso paso por paso (Si se presenta el caso, trabaje

únicamente con números de la forma 8

9

y NO con sus representaciones

decimales).

: =#

−  −

 −

$

: =#

−  −

 −

$ ;<=>?A><ABC8;;8>;8DAEA>@?F8FEADA
:
DA:

=8>8B89A>B?:5AG?BEA

:
=#

−  −− 



 − 

$

:
= H− ∗  ∗ − +  ∗

∗  + − ∗

∗ I

− J ∗  ∗ − + ! ∗

∗ −" + − ∗

∗ K

:
= H

 + 

 + 

I − H− + 

 + 

I

:
= H

I − H−I = 

L<@<
:
≠

AFE<FLAB:

5

AG?BEA

: =#

−  −

 −

$

: = O

−  −

 −

$O







O XA8;?Y8@<B

Q

= O

−1 1 −1

0 1 0

3 1 −5

O

1 0 0

0

1

2

0

0 0 1

_ − `a + `b = `a

1 −1 1

0 1 0

U

−1 0 0

0

1

2

0

= O

1 0 1

0 1 0

3 1 −5

O

−1

1

2

0

0

1

2

0

0 0 1

_ _

− 3`a + `c = `c

−3 0 −3

3 1 −5

U 3 −

3

2

0

0 0 1

= O

1 0 1

0 1 0

0 1 −8

O

−1

1

2

0

0

1

2

0

3 −

3

2

1

_

_

− `c + `b = `c

0 −1 8

0 1 0

U

−3

3

2

−1

0

1

2

0

= O

1 0 1

0 1 0

0 0 8

O

−1

1

2

0

0

1

2

0

−3 2 −1

_ _

`c

8

= `c0 0 1
−

3

8

2

8

−

1

8

= O

1 0 1

0 1 0

0 0 1

O

−1

1

2

0

0

1

2

0

−3

8

2

8

−

1

8

_

_

− `c + `a = `a

0 0 −1

1 0 1

U

3

8

−

2

8

1

8

−1

1

2

0

:5 =



VA +
:

∗ :DW: = O

1 0 0

0 1 0

0 0 1

O

−

5

8

1

4

1

8

0

1

2

0

−3

8

1

4

−

1

...