LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LA ESCUELA

INTRODUCCIÓN

Dentro de la educación una de las materias más difíciles de enseñar y aprender son las matemáticas, ya que en la mayoría de los casos, tanto a maestros como a alumnos, resulta muy complicado y hasta fastidiosa su estudio, inclusive hay muchos maestros que evitan la materia lo más que pueden y únicamente enseñan lo esencial.

La Enseñanza de las Matemáticas posee una larga historia, desde tiempos remotos se le considera como una asignatura necesaria para la preparación de las nuevas generaciones, básicamente para contribuir al desarrollo del pensamiento.

En la lectura se nombra que la creencia predominante durante siglos fue aprender a resolver problemas por imitación, es decir, viendo resolver problemas e imitando las actitudes y el proceder del que resuelve; no puede negarse que esta vía y también la de ensayo y error puede servir a algunas personas para aprender, pero la escuela no está hecha para que algunos aprendan, sino para que todos aprendan y, obviamente, con estos procedimientos no puede lograrse que todos aprendan.

Así mismo, en esta unidad lo que se pretende es buscar nuevos métodos para enseñar la materia de matemáticas de una manera lúdica, y así demostrar tanto a alumnos como a maestros que las matemáticas pueden ser divertidas, de acuerdo a la manera cómo se enseña.

También se menciona la importancia que tienen los profesores-alumnos al utilizar todo recurso resolutivo o metodológico para resolver diversos problemas matemáticos al trabajar en equipo. También se señalan algunos de los elementos que permiten caracterizar el concepto de problema y algunas nociones relativas a los mismos y a su resolución dentro del punto de vista de la didáctica tradicional.

Para desarrollar en el niño una nueva actitud para resolver problemas se propone hacer explícita la existencia del contrato didáctico para modificarlo en un sentido positivo.

“MARCOS REFERENCIALES PARA EL ESTUDIO DE LOS PROBLEMAS”

TEMA 1. SABERES PREVIOS DEL PROFESOR-ALUMNO SOBRE PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Se pretende hacer reflexionar al profesor sobre las circunstancias y dificultades que sus propios alumnos experimentan al afrontar en clase los distintos problemas matemáticos. Además de propiciar el intercambio grupal de opiniones para el enriquecimiento de los conocimientos disponibles acerca de los problemas y su resolución.

TEMA 2. CONCEPTO Y FUNCIÓN DE LOS PROBLEMAS EN LA ESCUELA.

LECTURA: LOS PROBLEMAS EN LA ESCUELA PRIMARIA.

La resolución de problemas es un obstáculo grave para los alumnos, la dificultad de un problema para un niño revela numerosos aspectos y estamos muy lejos de haber identificado todos los componentes en juego en la resolución y las relaciones que existen entre esos componentes.

Un objetivo fundamental de la escuela primaria es enseñar a los niños a resolver problemas. Hace algunos años cuando se les pedía a los alumnos inventar problemas, los datos propuestos no tenían relación, incluso eran incompatibles con la pregunta presentada, los textos eran más parecidos a enigmas o adivinanzas que a enunciado de problemas.

Frente al enunciado los niños solo se preocupan por la operación que hay que hacer, está claro que tal relación con el problema, solo perturba e incluso impide la búsqueda de una solución racional o el desarrollo de un razonamiento lógico.

La convicción que tienen los niños de haber encontrado una buena solución y de sus posibilidades de justificarla, se trata de comportamientos que desbordan ampliamente el cuadro de resolución de problemas en matemática.

Se puede desarrollar fructuosamente la capacidad de argumentar en un lenguaje no ambiguo, dentro de las actividades de comunicación e intercambio. En realidad se hace la hipótesis que estos puntos tienen un mismo origen, la naturaleza del contrato que se establece entre el maestro y los alumnos, este contrato está ampliamente determinado por las expectativas, a menudo implícitas del maestro, modela los comportamientos de los niños, influye en sus respuestas: el niño construye una imagen de la resolución del problema según la cual debe, antes de todo producir la respuesta que el maestro espera.

Para desarrollar en el niño la actitud para resolver problemas es necesario entonces, trabajar a nivel de ese contrato, para tratar de explicitarlo o modificarlo en un sentido favorable.

 Primera cuestión, la de la lectura:

Los problemas son generalmente textos escritos y se sabe que las dificultades varían según el orden elegido para presentar los datos, la sintaxis, los términos empleados y la longitud del texto.

Una idea muy generalizada es que una de las dificultades de los niños en la resolución de problemas es que no saben leer. Entonces la lectura del texto no sería una fase independiente de la resolución de problemas, sino para integrarse.

 Segunda cuestión: la de la memoria y la multiplicidad de tareas:

La actividad de resolución de resolución se presenta en efecto como una actividad compleja que requiere la afectación mental y simultanea e un gran número de tareas: depósito, selección, organización de información, búsqueda y aplicación de procedimientos, cálculos, etc.

 Tercera cuestión:

La de la maduración psicogenética del niño. De sus determinantes afectivos, socioculturales, estos factores se toman en cuenta en nuestra práctica y están presentes en la elección de las relaciones que proponemos establecer entre el maestro, los alumnos y la situación problema.

1. Los objetivos metodológicos.

Para tratar de resolver cierto número de las dificultades señaladas anteriormente es necesario considerar una gama de problemas mucho más amplia que el problema clásico.

1.1. Problematizar- resolver.

Buscar informaciones, organizarlas, tratarlas son objetivos indispensables en la resolución de problemas: la elección de los datos pertinentes necesita que ya se concibe un método de resolución e inversamente, en el curso del tratamiento a menudo aparecen nuevas cuestiones, o en necesario toma en cuenta nuevas informaciones u organizar diferentemente los datos iniciales.

Consideramos en particular situaciones de problemas donde deba:

a) Cuestionar el propósito de los datos, formular hipótesis e inferir un resultado.

b) Buscar informaciones pertinentes relativas a una pregunta.

c) Aplicar un procedimiento de resolución.

Su desarrollo estará en función de las dificultades que encuentren los niños, dificultad para ordenarlas convenientemente lo que conduce a los niños a resolver el problema refiriéndose a índices contextuales, palabras como: agregar, restar o nociones que se acaban de aprender o repasar, etc.

1.2. Comunicar-validar.

Hay que elegir situaciones-problemas de tal forma que los alumnos tengan que comunicar informaciones o procesos, que paralelamente tengan que tener en cuenta las ideas emitidas por otros y susceptibles de hacer evolucionar su investigación, que puedan comparar sus soluciones con otras a fin de colocarlos en posición de convencer a los demás de la validez de sus resultados.

Se necesita que el alumno se involucre en la situación propuesta y que además este colocado en condiciones favorables para el intercambio, validar los resultados y las previsiones hechas con un razonamiento.

TEMA 3. LOS PROBLEMAS EN EL CONSTRUCTIVISMO.

LECTURA: APRENDER POR MEDIO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidos en otros tantos problemas, problemas de orden doméstico, problemas planteados en estrecha vinculación con otras ciencias. La actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de la ciencia matemática. Los problemas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son casi siempre parciales, aun sin destellos geniales provocan avances espectaculares.

Los que les han dado origen y sentido a las matemáticas producidas y esta es la principal lección que tener en cuenta en la enseñanza. Uno de los objetivos esenciales de la enseñanza de las matemáticas es precisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado es decir que tenga sentido para el alumno,

El sentido de un conocimiento matemático se define por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no solo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, también como el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de formulaciones que retoma.

La construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerado en dos niveles:

 Nivel externo: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento? Y ¿Cuáles son los límites de este campo?

 Nivel interno: ¿Cómo? Y ¿para que funciona tal herramienta? Y ¿Por qué conduce al resultado esperado?

El alumno debe ser capaz no solo de repetir o rehacer, sino también de re significar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas, haciendo aparecer las nuevas nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido.

Estrategia de aprendizaje.

Los modelos se apoyan en la idea de contrato didáctico, Brousseau lo ha definido como: “El conjunto de comportamientos específicos esperados del maestro que son esperados por el alumno y conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro, y que regulan el funcionamiento de la clase y las relaciones maestro-alumno-saber”.

Así una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se juegan entre esos tres polos: maestro, alumno y saber.

A continuación se describen tres modelos de referencia:

1.- modelo normativo

El cual esa centrado en el contenido, se trata de aportar, de comunicar un saber a los alumnos. El maestro muestra nociones, las introduce, provee los ejemplos

El alumno en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento; luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica. El saber ya está acabado, ya construido.

2.- modelo incitativo

Este modelo esta entrado en el alumno, se le pregunta por sus intereses, sus motivaciones, sus propias necesidades, su entorno. El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, lo remite a herramientas de aprendizaje, busca una mejor motivación.

El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende y a menudo se acerca a lo que es la enseñanza programada. El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno, la estructura del saber pasa a segundo plano.

3.- modelo aproximativo

Este modelo está centrado en la construcción del saber por el alumno, propone partir de los conocimientos previos existentes en el alumno y ponerlas a prueba para mejorarlas, modificarlas o construir nuevas.

El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos, organiza diferentes fases (investigación, formulación e institucionalización)

Organiza la comunicación de la clase, propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología).

El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con la de sus compañeros, las defiende o las discute. El saber es considerado con su lógica propia.

Opciones a favor de una elección.

Estas opciones se apoyan en los resultados de investigación, en ellas se basan en la pregunta ¿Cómo aprenden los alumnos?

1.- Los conocimientos no se apilan, no se acumulan sino que pasan de estados de equilibrio a desequilibrio, en el transcurso los conocimientos anteriores son cuestionados, una nueva fase de equilibrio corresponde a una fase de reorganización de los conocimientos donde lo nuevos conocimientos son integrados a los antiguos saberes.

2.- El rol de la acción en el aprendizaje, la acción en la construcción de conceptos, se trata de la actividad propia del alumno que no ejerce forzosamente en la manipulación de objetos materiales, sino de una acción con una finalidad, problematizada, que supone una dialéctica pensamiento acción muy diferente a una simple manipulación guiada.

3.- Solo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema para resolver, es decir cuando reconoce el nuevo conocimiento como medio de respuesta a una pregunta.

4.- Las producciones del alumno son una información sobre su estado de saber, ciertas producciones erróneas no corresponden a una ausencia de saber si no, más bien a una manera de conocer que ha servido en otros contextos contra la cual el alumno deberá construir el nuevo conocimiento.

5.- Los conceptos matemáticos no están aislados, más bien son campos entrelazados que se consolidan mutuamente, de ahí la idea de proponer a los alumnos campos de problemas que permitan la construcción de estas redes de conceptos que conviene elucidar previamente.

6.- La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje, se trata de las relaciones maestro-alumno como la relación alumnos-alumnos puesta en marcha en las actividades de formulación.

Triangulo docente-alumno-problema.

Características de estas relaciones:

 Problema-alumnos

La actividad propone un verdadero problema para resolver para el alumno: debe ser comprendido para que se pueda prever una respuesta al problema; tiene que permitir utilizar los conocimientos previos, ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a evolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos y elaborar nuevos, validación que provenga de la situación no del docente.

 Docente-alumnos

Las relaciones pedagógicas deben conducir a los alumnos a percibir que es más conveniente para establecer la validez que ellos mismos afirman y solicitar pruebas a los otros. Tiene que haber distinción entre los aportes del docente y las pruebas que los alumnos aportan.

 Maestro-situación

Le corresponde al maestro distinguir el objetivo inmediato de los objetivos más lejanos, elegir parámetros y variables didácticas. El conocimiento debe ser el más adaptado para resolver problemas. Debe observar los errores significativos, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones. Por ultimo le corresponde provocar o hacer la síntesis.

TEMA 4. LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA.

LECTURA: INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA TEORÍA DE LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA.

Sin duda alguna la enseñanza problémica contribuye a que el proceso enseñanza-aprendizaje sea más dinámico.

Todo maestro debe estar consciente de que elevar la calidad de la enseñanza significa la búsqueda constante de nuevas vías que conduzcan a la eliminación del tipo de enseñanza que promueve el aprendizaje dogmático y reproductivo, en que maestros y alumnos se contentan con la simple repetición de memoria, de definiciones, sin que exista la comprensión consciente del significativo de estos conceptos, lo que impide descubrir sus características esenciales, sus regularidades, los nexos con otros y su aplicación creadora.

1. Concepto, significación y funciones de la enseñanza problémica.

Es necesario que el maestro conozca el concepto y la significación de lo que para algunos autores constituye un nuevo tipo de enseñanza; para otros, un sistema de métodos y para algunos, un principio de trabajo permanente.

1.1. Concepto y significación de la enseñanza problémica.

Con la enseñanza problemica se logra desarrollar el proceso enseñanza- aprendizaje a partir de un pensamiento investigativo caracterizado por la existencia de aspectos importantes de la actividad científica.

Según Danilov la enseñanza problémica consiste “en que los alumnos guiados por el profesor, se introducen en el proceso de búsqueda de la solución de problemas nuevos para ello, gracias a lo cual, aprenden a adquirir independientemente los conocimientos, a emplear los conocimientos antes asimilados y a dominar la experiencia de la actividad creadora”.

Majmutov define también el concepto de aprendizaje problémico como “la actividad docente cognoscitiva de los alumnos, encaminada la asimilación de conocimientos y modos de actividad mediante la percepción de la explicaciones del maestro”.

1.2. Funciones de la enseñanza problémica.

Entre las funciones fundamentales que la enseñanza problémica debe cumplir se encuentra garantizar que se desarrolle un sistema de capacidades y hábitos necesarios para la actividad intelectual; enseñar al alumno a aprender, mediante los métodos del conocimiento y del pensamiento científico; a contribuir a la formación de convicciones, cualidades de carácter, hábitos y normas de conducta.

Por eso es una tarea primordial del maestro prepararlos para la vida, para que en su actividad profesional sean capaces de continuar profundizando en el saber acumulado y de incorporar cada día a su experiencia laboral los nuevos avances.

2. Base metodológica de la teoría de la enseñanza problémica.

La teoría del conocimiento del materialismo dialéctico e histórico constituye la base metodológica de la teoría de la enseñanza problémica. Solo se destacan dos ideas importantes:

La primera se refiere a la crítica que es necesario hacer a los análisis simplistas, que realizan algunos pedagogos, de la teoría leninista del reflejo. La segunda se refiere a la necesidad de que el maestro nunca pierde de vista que la enseñanza como fenómeno de la realidad objetiva es un proceso que se desarrolla dialécticamente.

3. Bases psicológica y pedagógica de la teoría de la enseñanza problémica.

La enseñanza problémica tiene su fundamento psicológico en la concepción sobre la naturaleza social de la actividad del hombre y en los procesos productivos del pensamiento creador.

Los procesos del pensamiento reproductivo tienden a que el alumno asimile el contenido presentado ante él ya elaborado, acabado, de ahí que estos procesos se identifiquen con la memoria. El pensamiento productivo se encarga de lograr un aprendizaje basado en la búsqueda, en la solución de problemas, y en la apropiación de los conocimientos ya elaborados por el profesor.

4. Situación problémica y problema.

La situación problémica es un estado psíquico de dificultades que surge en el hombre cuando, en la tarea que está resolviendo, no puede explicar un hecho nuevo mediante los conocimientos que tiene, o realizar un acto conocido a través de los procedimientos que desde antes conoce, y debe, por lo tanto, buscar un procedimiento nuevo para actuar.

El problema es la contradicción dialéctica asimilada por el sujeto en el proceso de estudio de la materia, la cual debe resolverse a través de los medios que encuentre, bajo la dirección directa o no del profesor. La solución de cualquier problema comienza con su planteamiento o con su formulación ya hecha.

5. Métodos de la enseñanza problémica.

Los métodos problémicos constituyen las etapas del proceso de desarrollo de la actividad totalmente independiente y creadora. M.A. Danilov distingue tres métodos de la enseñanza:

 Exposición problémica: el profesor muestra la vía para solucionar determinado problema.

 Búsqueda parcial o heurística: el profesor organiza la participación para la realización de determinadas tareas del proceso de investigación.

 Investigativo: refleja el nivel más alto de asimilación de los conocimientos.

CONCLUSIÓN

Me parece fundamental que los niños se impregnen de matemática en la escuela, que se interioricen con sus aspectos formales y abstractos. Ésta es la única manera que les será útil, en el sentido más aplicado de la palabra. Y los profesores debemos asumir el desafío y el compromiso de colaborar para que esa impregnación se haga bien.

El decir que se enseña matemáticas no significa poner algoritmos en el pizarrón y que el alumno los resuelva, al contrario, enseñar matemáticas quiere decir que se prepara al alumno para qué pueda resolver problemas que se le presentan a diario; por ejemplo: cuando va a comprar a la tienda, cuando quiere saber cuántos minutos faltan para una hora, etc.

Muchos de los alumnos ven a las matemáticas difíciles, tediosas y sin importancia, y es labor del docente que los niños sepan que no es así, que es todo lo contrario, son fáciles, divertidas y muy importantes para nuestra vida. Los alumnos deben de ver a las matemáticas como una herramienta para resolver sus problemas y no como una asignatura más que tienen que cursar en la escuela primaria.

Enseñar matemáticas muchas veces es difícil por la ideología que tienen los niños acerca de estas, sin embargo nosotros como maestros podemos hacer que esto cambie, enseñando a los niños por medio del juego.

Las matemáticas nos sirven para toda nuestra vida y es súper indispensable su enseñanza, primordialmente en la escuela primaria, pues es donde los niños empiezan a tener un contacto más profundo con ellas y donde el docente refuerza y ensaña a resolver problemas matemáticos.

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