Ensayo De Economia

ANALISIS DE CORRELACION

(Simple)

ANÁLISIS DE CORRELACION: Es el grupo de técnicas estadísticas empleado para medir la intensidad de la relación (correlación) entre dos variables.

El principal objetivo del análisis de correlación es determinar que tan intensa es la relación entre dos variables. Una medida de esta relación es el coeficiente de correlación ( r ) el cual puede tomar valores en una escala desde –1 hasta +1 inclusive como se indica enseguida.

INTENS MODERA DEBIL DEBIL MODERADA INTENSA

-1.00 -0.50 0 +0.50 +1.00

correlación negativa (C.N.) correlación positiva (C.P.)

COEFICIENTE DE CORRELACION ( r ): Originado por el investigador Karl Pearson aproximadamente en el año 1900, el coeficiente de correlación describe la intensidad de la relación entre dos conjuntos de variables, por lo cual también se le conoce como r de Pearson.

Si r toma los valores de –1 o de +1 indica correlación perfecta como se indica en los siguientes diagramas de dispersión.

(Gráfica que indica la relación entre las dos variables).

y y

r = -1 r = +1

x x

Correlación Negativa Prefecta Correlación Positiva Perfecta

Si r = 0 indica que no existe ninguna correlación entre las dos variables.

El coeficiente de correlación se calcula mediante la siguiente fórmula:

Donde:

n  es el número de pares de observaciones (x, y)

x  valores de la variable independiente x.

y  valores de la variable dependiente y.

EJEMPLO:

El director de personal de una empresa debe entrevistar y seleccionar nuevo personal para el área de ventas. Ha diseñado una prueba que ayude a seleccionar los mejores aspirantes. Con la finalidad de verificar la validez de su prueba, como instrumento de predicción de las ventas semanales, eligió al azar cinco vendedores experimentados y aplicó la prueba a cada uno (esta muestra es pequeña para fines didácticos, en la práctica debe tomarse una muestra mucho mayor).

Los resultados obtenidos se muestran en la tabla siguiente:

VENDEDOR PUNTUACIÓN DE PRUEBA VENTAS SEMANALES

SR. MARTÍN 4 $ 5,000

SR. JOSE 7 12,000

SRA. MARIA 3 4,000

SR. JUAN 6 8,000

SRA. SILVIA 10 11,000

Se piensan entonces que las ventas semanales dependen de la puntuación de prueba por lo cual se toman las ventas como variable dependiente ( y ) y la puntuación de prueba como variable independiente ( x ).

El diagrama de dispersión de los datos anteriores se muestra a continuación:

Y

Ventas 14

Semanales 12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x

puntuación de prueba

Utilizando los datos originales se construye lo siguiente:

Puntuación de Prueba ( X ) Ventas Semanales ( Y )

X²

XY

Y²

4 5 16 20 25

7 12 49 84 144

3 4 9 12 16

6 8 36 48 64

10 11 100 110 121

X = 30 Y = 40 X² = 210 XY = 274 Y² = 370

El coeficiente de correlación es 0.88 calculado por:

.

5( 274 ) – ( 30 )( 40 ) 170 .

= √ [ 5 ( 210 ) – ( 30 )² ] [ 5 ( 370 ) – ( 40 )² ] =√ (150)(250) = 0.88

Lo cual indica una relación muy intensa.

Coeficiente de determinación: Es la proporción de la variación total en la variable dependiente (y) que se explica por, o se debe a, la variación total en la variable dependiente (x).

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN = (COEFICIENTE DE CORRELACIÓN)² = r²

Para el ejemplo anterior el coeficiente de correlación es = ( 0.88 )² = 0.77 e indica que el 77% de la variación total en las ventas semanales se explica por, o se debe a, la variación en las puntuaciones de prueba.

Coeficiente de no-determinación: Es el complemento del coeficiente de determinación. Para el ejemplo el coeficiente de no-determinación = 1 - r² = 1 - 0.77 = 0.23. Esto significa que 23% de la variación total en las ventas semanales no se debe a la variación en las puntuaciones de prueba.

Un coeficiente de correlación de 0.80 da un coeficiente de determinación de 0.64. Algunos estadígrafos preferirían utilizar la medida más conservadora (0.64), considerando que el coeficiente de correlación de 0.80 puede exagerar la relación entre los dos conjuntos de variables.

Ejercicios Propuestos

Texto Páginas Ejercicios

Manson y Lind 500...502 1....4

ANALISIS DE REGRERSION LINEAL

(SIMPLE)

Se define a la regresión lineal como una relación fundamental entre dos o más variables correlacionadas y se usa para pronosticar una variable con base en la otra. Por lo general la relación se obtiene de dos datos observados. En la regresión lineal la relación entre variables forma una línea directa.

La línea de regresión lineal es de la forma y’ = a + bx, donde y’ es la variable dependiente que queremos resolver; a es la intersección de y’; b es la dependiente y x es la variable independiente (en el análisis de series de tiempo, x representa unidades de tiempo).

La regresión lineal es útil para pronósticos a largo plazo de sucesos importantes y para la planificación agregada. Por ejemplo, sería muy útil para pronosticar la demanda de familias de productos. Aunque es probable que durante un periodo varié bastante la demanda para un producto específico de la familia, la demanda para toda la familia es sorpresivamente regular.

La restricción principal para usar los pronósticos de regresión lineal es que, supuestamente, los datos pasados y las proyecciones caen sobre una línea recta. Aunque esto limita su aplicación, algunas veces, si usamos un periodo más breve puede usarse el análisis de regresión lineal. Por ejemplo, si existe una tendencia de crecimiento y usamos un período de diez o veinte años la tendencia se pierde entre todos los datos y será baja la proyección para el año siguiente. Sin embargo, si sólo usamos los últimos años, el pronóstico será más preciso. Es una parte del procedimiento de regresión lineal se estima lo adecuado del ajuste en la línea con los datos.

La regresión lineal se usa tanto para pronósticos de series de tiempo como para pronósticos de relaciones causales cuando la variable dependiente (por lo general el eje vertical de un gráfico) cambia como resultado del tiempo (el eje horizontal en el gráfico), se trata de un análisis de series de tiempo. Si una variable cambia debido al cambio de otra variable, estamos ante una relación causal (como el incremento en el número de muertes por cáncer en el pulmón con respecto a las personas que fuman).

METODO DE MINIMOS CUADRADOS

El método de mínimos cuadrados trata de ajustar a la línea a los datos que minimicen la suma de los cuadrados de la distancia vertical entre cada punto de datos y su punto correspondiente a la línea.

La ecuación de mínimos cuadrados para la regresión lineal es la que se indica a continuación:

y’ = a + bx

Donde:

y’  variable dependiente calculada por la ecuación, indica el pronóstico para el período x.

x periodo de tiempo.

a  es el valor de y’ cuando x es = 0.

b  es la pendiente de la línea.

y  Representa el valor de la variable correspondiente del periodo x.

EJEMPLO 1.

Pronostique las ventas para los periodos 13, 14 y 15 si las ventas de los 12 periodos anteriores son los que se indican a continuación.

Periodo (x) Ventas (y) (xy) (x²) Y’

1 600 600 1 801.3

2 1550 3100 4 1160.9

3 1500 4500 9 1520.5

4 1500 6000 16 18880.1

5 2400 12000 25 2239.7

6 3100 18600 36 2599.4

7 2600 18200 49 2959.0

8 2900 23200 64 3318.6

9 3800 34200 81 3678.2

10 4500 45000 100 4037.8

11 4000 44000 121 4397.4

12 4900 58800 144 4757.1

x = 78 y = 33,350  = 268,200 = 650

Calculando la pendiente:

Por lo tanto el valor de a será:

El pronóstico para el periodo 13 será:

y’13 = a +bx = 441.66 + 359.6153 (13) = 5,116

y para el periodo 14 y 15:

y’14 = 441.66 + 359.6153 (14) = 5,476

y’15 = 441.66 + 359.6153 (15) = 5,836

V $5000

E 4000

Pronósticos de Venta

N 3000

T 2000

A 1000

S 500

Línea de Regresión

a

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

PERIODO ( X )

El error estándar de estimación, o sea, la calidad de ajuste de la línea a los datos anteriores es:

Una ecuación más fácil de calcular para el error estándar es:

EJEMPLO 2.

Volviendo a las puntuaciones de prueba y las ventas semanales de los cinco vendedores, las sumas y otros datos básicos para despejar o evaluar a y b aparecen en la tabla siguiente:

Puntuación de prueba. Ventas semanales (niveles de dólares)

Vendedor X Y X² XY Y²

Sr. Amber 4 5 16 20 25

Sr. Archer 7 12 49 84 144

Sra. Smith 3 4 9 12 16

Sr. Malcolm 6 8 36 48 64

Sra. Goodwin 10 11 100 110 121

Total 30 40 210 274 370

¿Cuál es la ecuación de regresión?

SOLUCION:

Las sumas de la tabla anterior se utilizan para ilustrar los cálculos para a y b en la ecuación de regresión:

= = 1.133

a = Y – bx = (40/5) – 1.133(30/5) = 8 – 6.798 = 1.202

Y’ = 1.202 + 1.133 (EN MILES DE DÓLARES).

Por tanto, la ecuación de regresión es y’ = 1.202 + 1.133x (en miles de dólares). Las ventas pronosticas para un candidato a un puesto en ventas, que calificó 6 en la puerta del director de personal es $8000, que se obtiene por y’ = a + bx = 1.202 + 1.133(6) = 1.202 + 6.798 = 8.000 (en miles de dólares).

EJERCICIO:

Datos: Calcular el pronóstico para los meses de enero, febrero y marzo del año siguiente.

E F M A M J J A S O N D E F M A M J J A S O N D E F M

68 55 63 82 87 63 77 78 62 78 74 62 74 80 96 74 71 71 66 86 85 89 91 103

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