Distribuciones de probabilidad

1. Distribuciones de probabilidad.

1.1 Distribución de probabilidad. Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada uno de ellos.

1.2 Variable aleatoria. Una variable  es variable aleatoria si el valor que toma, correspondiente al resultado de un experimento, es una probabilidad o evento aleatorio.[pic 1]

Una variable  valuada numéricamente varía o cambia, dependiendo del resultado particular del experimento que se mida. Por ejemplo, suponga que se tira un dado y se mide , el número observado en la cara superior. La variable  puede tomar cualquiera de seis valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, dependiendo del resultado aleatorio del experimento. Por esta razón, la variable  se conoce como variable aleatoria.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

1.3 Variable aleatoria discreta. Se dice que una variable aleatoria  es discreta si puede tomar sólo un número finito o contablemente infinito de valores distintos.[pic 6]

Definición 3.1 Distribución de probabilidad para una variable discreta. La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una fórmula, tabla o gráfica que da los posibles valores de , y la probabilidad  asociada con cada valor de .[pic 7][pic 8][pic 9]

Teorema 3.1. Para cualquier distribución discreta, lo siguiente debe ser verdadero: 

1.  para toda [pic 10][pic 11]

2. , donde la sumatoria es para todos los valores de  con probabilidad diferente de cero.[pic 12][pic 13]

Los valores de  representan eventos numéricos mutuamente excluyentes. Sumar  sobre todos los valores de  es equivalente a sumar las probabilidades de todos los eventos simples y por tanto es igual a 1.[pic 14][pic 15][pic 16]

Definición 3.2 Valor esperado. Sea  una variable aleatoria discreta con la función de probabilidad . Entonces el valor esperado de ,  se define como:[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

Teorema 3.2 Sea  una variable aleatoria discreta con función de probabilidad  y sea  una función de valor real de . Entonces, el valor esperado de  está dado por:[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27]

Definición 3.3 Varianza. Si  es una v. a. con media , la varianza de una variable aleatoria  se define como el valor esperado de . Esto es,[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

La desviación estándar de  es la raíz cuadrada positiva de .[pic 33][pic 34]

Teorema 3.3 Sea  una variable aleatoria discreta con función de probabilidad  y sea  una constante. Entonces .[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Teorema 3.4 Sea  una variable aleatoria discreta con función de probabilidad  una función de  y  una constante. Entonces[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

[pic 43]

Teorema 3.5 Sea  una variable aleatoria discreta con función de probabilidad  y sean   funciones de . Entonces[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

[pic 49]

Teorema 3.6 Sea  una variable aleatoria discreta con función de probabilidad  y media ; entonces[pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

1.3.1 Algunas distribuciones de probabilidad discretas.

3.1 La distribución de probabilidad Binomial.

Un experimento binomial presenta las siguientes propiedades:

1. Consiste en un número fijo de  pruebas idénticas.[pic 54]
2. Cada prueba resulta en uno de dos resultados: éxito , o fracaso, .[pic 55][pic 56]
3. La probabilidad de éxito en una sola prueba es igual a algún valor  y es el mismo de una prueba a la otra. La probabilidad de fracaso es igual a [pic 57][pic 58]
4. Las pruebas son independientes.
5. La variable aleatoria de interés es , el número de éxitos observados durante las  pruebas.[pic 59][pic 60]

Definición 3.4 Binomial. Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución basada en  pruebas con probabilidad  de éxito si y sólo si[pic 61][pic 62]

[pic 63]

Ejemplo 1. La experiencia ha demostrado que 30% de todas las personas afectadas por cierta enfermedad se recuperan. Una empresa fabricante de medicamentos ha inventado una nueva medicina. Diez personas con la enfermedad se seleccionaron al azar y recibieron la medicina; nueve se recuperaron al poco tiempo. Suponga que la medicina no es eficaz en absoluto. ¿Cuál es la probabilidad de que se recuperen al menos nueve de entre diez que recibieron la medicina?

Solución.

Denotemos con  al número de personas que se recuperan. Luego, si la medicina no funciona, la probabilidad de que una persona enferma se recupere es .[pic 64][pic 65]

Buscamos la probabilidad de que [pic 66]

El número de pruebas es  y la probabilidad de que exactamente nueve se recuperen es[pic 67]

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Luego, la probabilidad que exactamente diez se recuperen es

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Finalmente:

[pic 71]

Si la medicina no es eficaz, la probabilidad de observar de que al menos nueve se recuperen es muy pequeña. Si administramos la medicina a diez personas y observamos que al menos nueve se recuperan, entonces la medicina es verdaderamente útil para curar la enfermedad.

Supongamos que un ensayo, quien resulta puede ser clasificado como ya sea un éxito o un fracaso. Si  cuando el resultado es un éxito y  cuando es un fallo, entonces la función masa de probabilidad de  está dada por[pic 72][pic 73][pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

Donde , , es la probabilidad de que el ensayo es un éxito.[pic 77][pic 78]

Definición 3.5 Bernoulli. Se dice que una v. a. tiene una distribución Bernoulli si y sólo si

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Teorema 3.7. Sea  una v. a. binomial basada en  pruebas y probabilidad  de éxito. Entonces[pic 80][pic 81][pic 82]

[pic 83]

Demostración:

Demostraremos el caso de la esperanza, por la Definición 3.2,

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Notemos que el primer término de la suma es cero, dado que:

[pic 85]

Por tanto,

[pic 86]

Por propiedades de los factoriales [pic 87]

Notemos que esta última expresión es muy parecida con las probabilidades binomiales. De hecho, si factorizamos  en cada término de la suma y hacemos  y [pic 88][pic 89][pic 90]

[pic 91]

Ahora, recordemos que , por lo tanto,[pic 92]

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3.2 La distribución de probabilidad Geométrica.

La v. a. con distribución de probabilidad geométrica está asociada con un experimento que comparte algunas de las características de un experimento binomial. Este experimento también comprende pruebas idénticas e independientes, cada una de las cuales puede arrojar uno de dos resultados: éxito o fracaso. La probabilidad de éxito es igual a  y es constante de una prueba a otra. No obstante, en lugar del número de éxitos que se presentan en  pruebas, la v. a. geométrica  es el número de prueba en la que ocurre el primer éxito. Entonces, el experimento consiste en una serie de pruebas que concluye con el primer éxito. En consecuencia, el experimento podría continuar de manera indefinida.[pic 94][pic 95][pic 96]

El espacio muestral  para el experimento contiene el conjunto infinitamente contable de puntos muestrales:[pic 97]

 (éxito en la primera prueba)[pic 98]

 (fracaso en la primera, éxito en la segunda prueba)[pic 99]

 (primer éxito en la tercera prueba)[pic 100]

 (primer éxito en la -ésima prueba), tenemos  fracasos antes de obtener el éxito.[pic 101][pic 102][pic 103]

Como la v. a.  es el número de intentos hasta el primer éxito, incluido éste, los eventos  y  contienen sólo los puntos muestrales  y , respectivamente. En forma más general, el evento numérico  contiene sólo a . Como las pruebas son independientes, para cualquier [pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111]

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