Modelos Arima

MODELOS ARIMA:

(i) Definiciones básicas

Prof. Rafael de Arce – www.uam.es/rafael.dearce

Prof. Ramón Mahía – www.uam.es/ramon.mahia

Dpto. Economía Aplicada

U.D.I. Econometría e Informática

I.1.- INTRODUCCIÓN

En 1970, Box y Jenkins desarrollaron un cuerpo metodológico destinado a identificar, estimar y diagnosticar modelos dinámicos de series temporales en los que la variable tiempo juega un papel fundamental, los modelos ARIMA. La metodología ARIMA es sólo una pequeña parte de los que se conoce normalmente como “Econometría de Series Temporales” pero, sin duda alguna, una de las más utilizadas y germen de otros muchos desarrollos posteriores.

Como se verá a lo largo del curso, esta metodología libera al investigador económetra de la tarea de especificación de los modelos (revisión de marco teórico, identificación de variables relevantes, especificación de forma funcional,……) dejando que los propios datos temporales de la variable a estudiar nos indiquen las características de la estructura probabilística subyacente y nos ayuden a pronosticar el futuro.

En ocasiones, los procedimientos que vamos a analizar se han contrapuesto a la llamada “econometría estructural”, es decir, a la especificación de modelos econométricos apoyada en las teorías subyacentes; sin embargo, hoy en día los conceptos y procedimientos que examinaremos constituyen más una herramienta para apoyar y complementar los conocimientos econométricos tradicionales que un modo alternativo de “hacer econometría”. Por otro lado, la utilización de modelos ARIMA se restringe a series largas y de “alta frecuencia” (meses, semanas, días,….) y su utilidad finalista los hace útiles para el pronóstico a corto plazo pero no para la comprensión estructural del fenómeno o la simulación de escenarios.

I.2.- DEFINICIONES BÁSICAS PARA APROXIMARSE A LOS MODELOS ARIMA

1. Proceso estocástico

Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias Yt ordenadas, pudiendo tomar t cualquier valor entre - y . Por ejemplo, la siguiente sucesión de variables aleatorias puede ser considerada como proceso estocástico:

El subíndice t no tiene, en principio, ninguna interpretación a priori, aunque si hablamos de proceso estocástico en el contexto del análisis de series temporales este subíndice representará el paso del tiempo.

2. Serie temporal y proceso estocástico

Una vez introducido el concepto genérico de proceso estocástico puede decirse que una serie temporal cualquiera es, en realidad, una muestra, una realización concreta con unos valores concretos de un proceso estocástico teórico, real. El análisis de series temporales tratará, a partir de los datos de una serie temporal, inferir las características de la estructura probabilística subyacente, del verdadero proceso estocástico. Si logramos entender qué características tiene este proceso (cuál es la esperanza de sus variables, su varianza y las relaciones entre variables separadas en el tiempo) y observamos además que estas características se mantienen en el tiempo, podremos utilizar la metodología ARIMA para proyectar su valor en el futuro inmediato.

3. Estacionariedad de un proceso:

La utilización de modelos ARIMA como estrategia de predicción de series temporales sólo tiene sentido si las características observadas en la serie (o más correctamente, en el proceso estocástico subyacente) permanecen en el tiempo.

Proceso estocástico estacionario en sentido fuerte.

Cada una de las variables Yt que configuran un proceso estocástico tendrán su propia función de distribución con sus correspondientes momentos. Así mismo, cada conjunto de variables tendrán su correspondiente función de distribución conjunta y sus funciones de distribución marginales. Habitualmente, conocer esas funciones de distribución resulta complejo de forma que, para caracterizar un proceso estocástico, basta con especificar la media y la varianza para cada yt y la covarianza para variables referidas a distintos valores de t:

Decimos que un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto o fuerte si las funciones de distribución conjuntas (no sólo la esperanza, las varianzas o las covarianzas, sino las funciones de distribución “completas”) son constantes, o dicho con más propiedad, son “invariantes con respecto a un desplazamiento en el tiempo” (variación de t). Es decir, considerando que t, t+1, t+2, ...., t+k reflejan períodos sucesivos:

para cualquier t, k y m; por ejemplo:

Proceso estocástico estacionario en sentido débil

La definición de estacionariedad en sentido estricto puede relajarse sustancialmente utilizando la denominada estacionariedad en sentido amplio o débil. Decimos que un proceso estocástico es débilmente estacionario si:

- Las esperanzas matemáticas de las variables aleatorias no dependen del tiempo, son constantes:

- Las varianzas tampoco dependen del tiempo (y son finitas):

- Las covarianzas entre dos variables aleatorias del proceso correspondientes a períodos distintos de tiempo (distintos valores de t) sólo dependen del lapso de tiempo transcurrido entre ellas:

De esta última condición se desprende que, si un fenómeno es estacionario, sus variables pueden estar relacionadas linealmente entre si, pero de forma que la relación entre dos variables sólo depende de la distancia temporal k transcurrida entre ellas.

Definición informal de un proceso estacionario

De una manera informal, diremos que un proceso es estacionario cuando se encuentra en equilibrio estadístico, en

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