MODELOS DE ARIMA

MODELOS ARIMA:

(ii) Análisis de estacionariedad de una serie

Prof. Rafael de Arce – www.uam.es/rafael.dearce

Prof. Ramón Mahía – www.uam.es/ramon.mahia

Dpto. Economía Aplicada

U.D.I. Econometría e Informática

II.1.- INTRODUCCIÓN

Las etapas que habitualmente implica la estimación de un modelo ARIMA son:

1. Análisis de la estacionariedad de la serie:

a. Estacionariedad en media:

i. Detección: presencia de tendencias deterministas (no estacionariedad en media) por observación gráfica

ii. Corrección: aplicación de filtros de tendencia

b. Estacionariedad en varianza:

i. Detección: aplicación de tests de Raíces Unitarias

ii. Corrección: integración de la serie

2. Análisis de la estacionalidad de la serie estacionaria y eventual filtrado de la estacionalidad

3. Identificación de la estructura ARIMA para la serie estacionaria y (eventualmente filtrada de estacionalidad)

4. Estimación de los parámetros del modelo ARIMA

Este texto se centrará en el primero de los puntos entendiendo que la cuestión de la estacionalidad ha sido ya analizada con anterioridad en asignaturas introductorias a la econometría y dejando las cuestiones relativas a la identificación y la estimación para un tercer documento.

II.2.- ESTACIONARIEDAD DE LAS SERIES I: Estacionariedad en MEDIA

El análisis practico de la estacionariedad de las series temporales

Queda clara que la aproximación a los procesos estocásticos con modelos AR o MA está restringida, en términos generales, a aquellos procesos estocásticos que cumplan, al menos de forma débil, la condición de estacionariedad . Así pues debemos analizar la estacionariedad de las series temporales analizadas antes de proceder a la identificación de la estructura del proceso estocástico AR ó MA.

¿Cómo verificamos si la serie a analizar es estacionaria en media?

La no estacionariedad en media recibe vulgarmente el nombre de “tendencia” aunque, técnicamente, debería utilizarse el término “tendencia determinista” diferenciándose de lo que más adelante denominaremos “tendencia aleatoria”. Identificar “tendencias deterministas” en las series suele ser habitualmente muy sencillo: normalmente es suficiente observar el gráfico de la serie para diagnosticar si su valor medio se mantiene constante o, por el contrario, crece o decrece con el tiempo.

Debe recordarse, no obstante, que cuado observamos la estacionariedad en media, nos interesa la estabilidad de la serie en el medio plazo, independientemente de las variaciones de corto plazo alrededor de esa tendencia. En este sentido, no debe considerarse como tendencia determinista un cambio temporal en la media, una fluctuación que parezca transitoria (Figura 1), sino un cambio relevante y persistente en la serie que parezca “dominar” el valor a medio plazo de la media (Figura 2).

Figura1: Serie SIN tendencia determinista (Estacionaria en media ) Figura 2: Serie con tendencia determinista (No estacionaria en media)

Para el analista, que necesita trabajar con series estacionarias en media, lo interesante es poder aislar (conservar) esas variaciones eliminando exclusivamente el componente de cambio en la media: a esta operación se la denomina “filtro de tendencia”. En el gráfico siguiente (en azul) puede observarse como la serie original presenta una tendencia lineal creciente que puede ser estimada (representada) con la línea discontinua (tendencia); la serie corregida (filtrada) de tendencia reproduce exactamente las mismas variaciones que la serie original pero sin mostrar tendencia alguna.

Ejemplo de serie, estimación de la tendencia y serie filtrada de tendencia

¿Cómo se genera la serie filtrada de tendencia?

Para realizar un filtro de tendencia, asumiremos simplemente que la tendencia (Tt) es un componente que se agrega a la serie sin tendencia (YSTt) generando la serie original (Yt): es decir, en el gráfico anterior, la serie original (en azul) es la suma de los valores de la serie sin tendencia (en rojo) más los valores de la tendencia (línea discontinua):

Para computar los valores de la tendencia en cada período basta con efectuar una regresión simple de la serie en función de una variable de tiempo “t” (1,2,3,4,……): el residuo de esta regresión será la serie filtrada de tendencia. La única decisión a considerar será el tipo de función matemática que mejor ajusta la tendencia de la serie (lineal, parabólica, exponencial ...) que sea más conveniente; trabajaremos con la serie del residuo, que entonces no mostrara tendencia y podremos decir que es estacionaria en media.

Algunos ejemplos de series con distintos tipos de tendencia: representación gráfica y función matemática a estimar

Sobre la elección del modelo de tendencia, conviene tener en cuenta algunas cautelas:

1. Debe priorizarse la sencillez en la selección del modelo de tendencia: ésta debe sólo centrarse en la evolución a medio plazo de la serie de modo que no es necesario que la tendencia reproduzca exactamente cada movimiento a corto plazo. Un comportamiento oscilante podría modelizarse, por ejemplo, con una función sinusoidal pero, si este movimiento se produce alrededor de una media en sencilla progresión creciente, bastará con proponer un modelo sencillo, monótonamente creciente, manteniendo el componente oscilatorio de la serie.

Ajuste de Tendencia Correcto (serie oscilante alrededor de una tendencia monótonamente creciente) Ajuste de Tendencia Incorrecto (tendencia sobreparametrizada)

2. Si existen dudas sobre el modelo de tendencia a utilizar, pueden probarse especificaciones alternativas (lineal Vs logarítmica, potencial Vs exponencial, por ejemplo) y utilizarse los resultados de la regresión (R2, porcentaje de error absoluto medio, contrastes “t” para los términos incluidos en la regresión,….) con el fin de valorar cuál de las especificaciones ajusta mejor la evolución de la serie

3. Las tendencias pueden ser “compuestas”, es decir, para un determinado período de análisis pueden combinarse distintos tipos de tendencias (primero lineal creciente, luego lineal decreciente, por ejemplo)

4. Algunas tendencias pueden no ser lineales por lo que su estimación con un modelo de regresión lineal requerirá la “linealización” previa de la función a estimar si no se conocen métodos de estimación no lineales

5. En presencia de componentes estacionales conviene habitualmente eliminarlos antes de proceder al análisis de tendencia

En todo caso, una vez elegido el modelo de tendencia más adecuado, el procedimiento de filtrado es bien sencillo:

1. Se estima, conforme al modelo elegido, la regresión de la serie en función del tiempo:

En el ejemplo gráfico de la página 2 de este documento, el ajuste lineal por MCO implica estimar:

resultando de la estimación los siguientes parámetros:

2. La tendencia se corresponde con la serie estimada ( ) en tanto que la serie filtrada es simplemente el residuo de esta regresión, es decir, la serie original ( ) menos la estimación de la tendencia ( ):

II.3.- ESTACIONARIEDAD DE LAS SERIES II: Estacionariedad en VARIANZA

Definición de la no estacionariedad en varianza. Porqué las series deben corregirse de una varianza no estacionaria: el concepto de tendencias estocásticas

La principal característica que define al componente tendencial es la de presentar efectos permanentes sobre una serie temporal yt. En el apartado previo vimos series con un componente tendencial claro, perfectamente, matemáticamente determinado, conocido, series que denominamos con tendencia “determinista”.

Si observamos algunas series “con tendencia”, por ejemplo en economía, podríamos caer en la tentación de calificarlas entre aquellas con tendencias deterministas como las anteriores; sin embargo, desde la teoría económica sería muy difícil justificar una tendencia determinista: aún existiendo componentes tendenciales importantes desde el punto de vista teórico, seguramente estos no serían de naturaleza determinista, perfectamente conocidos.

Es muy posible, por ejemplo, que la productividad tienda a crecer de forma “natural” en la medida en que, con el paso del tiempo, se va produciendo la mejora tecnológica de los procesos productivos. También es “natural” que el valor añadido nominal en servicios tienda a crecer incluso de forma ligeramente exponencial, reemplazando la renta del sector primario, a medida que una economía va alcanzando ciertos niveles de desarrollo. Sin embargo, ambos procesos teóricos no se producirán, con total seguridad, de una manera invariable, constante, predecible, determinista, con el paso del tiempo.

Frente

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