Secuencia

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Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco. Facultad de Ingeniería.

Asignatura: Estructuras Algebraicas Código: MA062

Dpto. de Matemática Seda Trelew Año de vigencia: 2014

Régimen de cursado: Primer cuatrimestre

Carga horaria total: 105

Contenido mínimos que aparecen en el plan de estudios

(MA062) ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Grupos. Anillos. Anillos de polinomios. Cuerpos: problemas clásicos de constructibilidad con regla y compás: Trisección de cualquier ángulo, Duplicación del cubo, Cuadratura del círculo.

Programa analítico de la asignatura:

Unidad Nº 1: Grupos.

Definiciones y ejemplos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Homomorfismos y subgrupos normales. Grupos cocientes y homomorfismos. Teoremas de homomorfismos. Teorema de Cauchy. El grupo simétrico y el grupo diedral.

Unida Nº 2: Anillos.

Definiciones y ejemplos. Ideales. Homomorfismos y anillos cocientes. Ideales máximos. Anillos de polinomios. Polinomios sobre los racionales.

Unidad Nº 3: Cuerpos.

Ejemplos. Espacios vectoriales. Extensión de cuerpos. Extensiones finitas. Constructibilidad con regla y compás.

Fundamentación:

El Álgebra tiene una gran presencia como contenido matemático en diferentes etapas del Sistema Educativo, especialmente en el nivel Superior Universitario. Desarrolla una propuesta de tránsito desde una perspectiva global que comprende el desarrollo del pensamiento operacional, estructural y procesual, mediante un acercamiento semiótico al lenguaje algebraico que integre los contextos numérico y geométrico, en un marco del Álgebra como Lenguaje, en el que las fuentes de significado y los sistemas de representación juegan un papel determinante. Los sistemas de representación que se utilizan para dar significado del Lenguaje Algebraico, además de considerar su carácter conceptual y procedimental, abordan también la necesidad de considerar el Álgebra como una actividad más de los alumnos, y los signos, como un instrumento específico y mediador de la actividad. Los alumnos comienzan desarrollando las bases del pensamiento algebraico: determinan semejanzas, diferencias, ordenan, clasifican, etiquetan. El Álgebra aparece como el lenguaje para la expresión y manipulación de generalidades. En la generalización se usan variables e incógnitas, fórmulas y ecuaciones en un marco de resolución de problemas.

Las aproximaciones que lleven a los estudiantes a la construcción de fórmulas o ecuaciones en las que se aprecie la generalidad de la misma, deben ser variadas: visualización; manipulación de figuras cuya construcción involucre el proceso de generalización facilitando la construcción de la fórmula; formulación de reglas recursivas que muestran cómo construir el siguiente término usando el precedente; y encontrar un patrón que lleve directamente a la fórmula.

El álgebra permite la enunciación de leyes generales de la aritmética y, con ello, poder explorar las propiedades de los números reales. Su origen se remonta a los antiguos babilonios, que, mediante formulaciones algebraicas, ya fueron capaces de calcular valores desconocidos. De ellos la tomaron los griegos pero hasta nosotros ha llegado a través de los árabes, extraordinarios matemáticos que le dieron un importante impulso. De hecho, la palabra algebra procede del idioma de éstos y significa “reducción”.

Hasta este año del profesorado Universitario de Matemática, se ha trabajado con números complejos, polinomios, funciones y matrices y se han efectuado con ellos ciertas operaciones. Sin embargo, no todas las operaciones se comportan de la misma manera, por ejemplo la conmutatividad en el producto de polinomios no se presenta en matrices. Es posible que dos conjuntos formados por elementos de diferente naturaleza y provistos de operaciones distintas tengan, sin embargo el mismo comportamiento algebraico. Es decir que las operaciones obedezcan a las mismas leyes. Se dice en el caso que ambos sistemas poseen la misma estructura algebraica. Por ello, la importancia de incorporar a la currícula la asignatura Estructuras algebraicas en cuarto año del profesorado en Matemática.

La idea de enseñar a construir figuras con regla sin graduar y compás, es ver que construcciones geométricas pueden hacerse con el uso de una regla no graduada (sin marcas), de un compas, de un lápiz y una hoja. Esta forma de construir figuras geométricas la heredamos de los griegos, que relacionaban la geométrica con la perfección y la religión. Todos estamos acostumbrados a que en el colegio primario se enseñe a trazar la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento y a construir triángulos con regla y compas. La pregunta es que otras construcciones se pueden hacer.

Los griegos ya tenían planteadas tres preguntas (que hoy se consideran clásicas):

¿Se puede trisecar un ángulo usando solo regla y compas?

¿Se puede duplicar un cubo usando solo regla y compas? (es decir, si tenemos un modelo plano de seis cuadrados para construir un cubo de volumen v, se puede construir un modelo plano para construir un cubo de volumen 2v solo usando regla y compas?)

¿Se puede cuadrar un circulo con regla y compas? (es decir, dado un circulo, se puede dibujar un cuadrado de su misma superficie usando solo regla y compas?)

Otra pregunta que puede formularse es:

Cuales polígonos regulares pueden construirse usando solo regla sin graduar y compas?

Nos gusta pensar que los geómetras griegos consideraban a la recta y a la circunferencia como las únicas figuras geométricas perfectas y que ese sería, quizás, el motivo por el cual todas sus argumentaciones geométricas eran consideradas perfectas si estaban realizadas con solamente dichas figuras básicas. En ello estaría el origen de las restricciones impuestas sobre el uso exclusivo de la regla (sin graduación) y el compás.

Otra explicación, más algebraica, implica que todos estos problemas son algebraicamente equivalentes a resolver sistemas de ecuaciones que impliquen hallar las intersecciones entre dos lineales rectas, una recta y una circunferencia o dos circunferencia

Los griegos conocían que, en la medida que las restricciones se relajasen, ciertos problemas podrían ser resueltos. De todos modos la perfección estaba condicionada al uso de esos dos únicos útiles de dibujo.

Utilizando solamente la regla y el compás pueden ser realizadas gran cantidad de construcciones geométricas. Por ejemplo, se puede construir la mediatriz de un segmento dado o la bisectriz de un ángulo dado, y también la perpendicular o la paralela a una recta dada, que pasen por un punto dado.

Contenidos conceptuales a desarrollar:

Constructibidad de figuras con regla y compás

Objetivos específicos: Que los alumnos sean capaces de

Conocer la estructura de los grupos cíclicos, grupos de simetrías y grupo diedral.

Estudiar las funciones que preservan las estructuras estudiadas: homomorfismos.

Introducir conceptos básicos de extensiones de cuerpos: extensiones algebraicas, simples y algunas propiedades, para luego presentar algún problema clásico de la construcción con regla y compás

Metodología:

Se pretende que el alumno a partir de sus conocimientos previos avance paulatinamente en los aprendizajes de los contenidos bajo la constante supervisión del docente a cargo de las actividades tanto teóricas como prácticas. El alumno es expuesto a distintos problemas que debe ir resolviendo paso a paso a fin de ir construyendo nuevos saberes. El trabajo es individual y se apoya en el uso de guías prácticas. Además, es de suma importancia el material bibliográfico a fin de complementar todo lo desarrollado. Se pretende fomentar que los alumnos expongan los ejercicios en forma oral con el fin de ir acercándose al lenguaje y situaciones de su futuro rol en el aula.

Clase 1: Duración de la clase 3 horas reloj

Para introducirnos en el tema de construcutibidad con regla y compás, se enunciarán los siguientes problemas, los cuales serán copiados en el pizarrón: (tiempo estipulado para introducir el tema 5 minutos)

PROBLEMA 1. ¿Se puede duplicar un cubo usando solamente regla y compás?

PROBLEMA 2. ¿Se puede trisecar un ángulo arbitrario usando solamente regla y compas?

Se les dirá a los alumnos que a pesar de la aparente infinidad de "trisectores de ángulos" que afloran cada año, la respuesta a ambos problemas es "no”

Veremos en el pizarrón que es imposible trisecar el ángulo de 60º usando sólo regla y compas. Mencionaremos que algunos ángulos son trisecables, por ejemplo, 0°, 90°, 145º, 180°, pero la mayoría de los ángulos (con un sentido muy preciso de "mayoría") no Io son.

Se les indicará a los alumnos que antes de llegar al significado exacto de los mismos problemas, se requiere explicar en términos explícitos cuales son exactamente las leyes del juego. Por regla no se entenderá una regla graduada -es decir, un instrumento para medir longitudes arbitrarias. Una regla será simplemente una línea recta, sin ninguna propiedad cuantitativa o métrica atribuida a ella. Se tiene dado un segmento de recta -al cual se le asigna longitud 1- y todas las demás longitudes que se deriven de tal segmento deben obtenerse sencillamente empleando una regla (un simple borde recto) y un compás.

Diremos y anotaremos en el pizarrón: Llamemos a un número real no negativo

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