TEORIA DE GRUPO SEMIGRUPO

TEORIA DE GRUPO

SEMIGRUPO

Sea S un conjunto no vacio y * una operación binaria sobre S. Si * es asociativa, entonces la dupla (s,*) se denomina semigrupo

1. Asociativa                 (a*b)*c = a*(b*c)

Ej.: Si E es el conjunto de números pares positivos, entonces (E,+) y (E,x) son semigrupos.

MONOIDE

Sea M un conjunto no vacio y sea * una operación binaria sobre M. Si (M,*) es un semigrupo que tiene elemento identidad, entonces la dupla (M,*) se denomina monoide

1. Asociativa                 (a*b)*c = a*(b*c)
2. Elemento identidad         e*a=a, a*e=a                 (si pruebo que es conmutativo puedo hacer solo una de las 2)

Ej.: Si N es el conjunto de números naturales, entonces (N,+) y (N,x) son monoides con respectos a los elementos identidad 0 y 1 respectivamente.

Ej.: Los semigrupos (E,+) y (E,x) no son monoides.

GRUPO

Sea G un conjunto no vacío y * una operación binaria de G, este se denomina grupo si cumple:

1. Asociativa                 (a*b)*c = a*(b*c)
2. Elemento identidad          e*a=a, a*e=a
3. Elemento inverso          a*a(¯1)= a(¯1)*a

Ej.: La multiplicación en el conjunto de los números enteros positivos (X no) ya que el elemento inverso es un entero negativo.

Ej.: La multiplicación en el conjunto de los racionales sin el cero. (Si)

Ej.: El producto matricial en el conjunto de las matrices reales 2x2 invertibles (si).

Ej.: El sistema algebraico (s,*) es un semigrupo, si * es asociativa. Si existe un elemento identidad es monoide, y además si existe un inverso para cada elemento s, entonces (s,*) es un grupo.

Ej.: (Z,*) es un grupo bajo la suma usual.

DECIMOS QUE UN SEMIGRUPO, MONOIDE O GRUPO ES ABELIANO CUANDO ES CONMUTATIVO

ORDEN DEL GRUPO[pic 1]

Es el cardinal del conjunto G, es decir la cantidad de elementos del conjunto G. Es detonado por 0(G).

ORDEN DEL ELEMENTO

Detonado por 0(a), es el menor entero positivo m tal que aɅm=e donde e es el elemento identidad de G, si tal entero no existe decimos que el orden es infinito.

PROPIEDADES DE GRUPOS

Sea (G,*) un grupo. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

• El elemento identidad e inverso son únicos.
• Las leyes de cancelación son verdaderas (a*b=a*c       b=c)[pic 2]
• Si a,b ɛ G la ecuación a*x=b tiene solución única x=a(¯1)*b.
• El único elemento idempotente es el elemento identidad (a*a=a y a=e) donde e representa el elemento identidad.

Probamos el último ítem.[pic 3]

GRUPO CICLICOS

Un grupo (G,*) es cíclico si existe un elemento a ɛ G ,tal que cada elemento x de G puede expresarse como        

 x=a (Ʌ n)

para algún entero n. El elemento a se dice que es generador de G y a veces se lo detona como ˂a˃

Propiedades:

• G es abeliano (conmutativo)
• Si a es generado de G, entonces a(¯1) también es generador de G.
• Si G es finito y a es generador de G de orden n. Entonces

G= (a,a2,…,a Ʌ n-1, aɅn=e)

Y n es el menor entero positivo tal que aɅn=e.

• Sea G de finito orden n, 1 «m ˂ n y a un generador de G. Entonces

aɅm es un generador de G si y solo si el MCD de m y n es 1.

Además n es el meno entero positivo tal que aɅn=e.

SUBGRUPO

Sea un grupo (G,*) u subconjunto y H c G es un subconjunto no vacio que satisface las siguientes condiciones:

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